最短路線問題是初中幾何圖形中經常遇到的一類問題，而利用兩點之間線段最短是我們經常用來解決現實生活中路線最短的常用公理之一。所謂兩點之間線段最短是指連接兩點之間所有的線中，線段最短。下面， 我們通過具體實例來體驗幾何圖形中的線路和最短問題。

1．如圖，直線L是一條河，P，Q是兩個村莊．欲在L上的某處修建一個水泵站M，向P，Q兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則所需管道最短的是（ ）.

【分析】

利用軸對稱的性質，通過等線段代換，将所求路線的長度轉化為兩個（定）點之間的距離，從而可得答案．

【詳解】

【點睛】

本題考查了最短路徑的數學問題．這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上也有所差别．

2．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點．若AE=2，當EF CF取得最小值時，則角ECF的度數為（ ）.

【分析】

可以取AB的中點G，連接CG交AD于點F，根據等邊△ABC的邊長為4，AE=2，可得點E是AC的中點，點G和點E關于AD對稱，此時EF FC=CG最小，根據等邊三角形的性質即可得∠DCF的度數．

【點睛】

本題考查了軸對稱-最短路線問題、等邊三角形的性質，解決本題的關鍵是利用等邊三角形的性質找對稱點．

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E，AC于點F，在EF上确定一點P，使PB＋PD最小，則這個最小值為（ ）.

【分析】

根據三角形的面積公式即可得到AD的長度，再由最短路徑的問題可知PB＋PD的最小即為AD的長．

【詳 解】

【點睛】

本題主要考查了最短路徑問題，熟練掌握相關解題技巧及三角形的高的計算方法是解決問題的關鍵.

【分析】

在BC上截取BQ'=BQ，連接PQ'，易證PQ'=PQ，顯然當A、P、Q'三點共線且時，的值最小，問題轉化為求△ABC中BC邊上的高，再利用面積法求解即可.

【詳解】

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的定義、垂線段最短和面積法求高等知識，屬于常考題型，在BC上截取B'Q=BQ，連接PQ'，構造全等三角形,把所求問題轉化為求PA PQ'的最小值是解題的關鍵.

【分析】

根據題意知點B關于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP BP的最小值，求出AC長度即可得到結論．

【點睛】

本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，解題的關鍵是找出P的位置．

【分析】

如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等邊三角形，據此即可求解．

【詳解】

【點睛】

此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正确作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．

7．如圖，點 A，C，A′在同一直線上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三個全等的等邊三角形，AB=5，D 為線段 B′C 上一動點，則 AD BD 的最小值是 _____．

【分析】

根據△ABC，△BCB′，△A'B'C是三個全等的等邊三角形，即可得出四邊形A'B'BC為菱形，進而得出點B關于B'C對稱的點是A'，以此确定當點D與點C重合時，AD＋BD的值最小，代入數據即可得出結論．

【詳解】

【點睛】

本題考查了軸對稱中的最短線路問題以及等邊三角形的性質，解題的關鍵是找出點B關于

B'C對稱的點是A'。

8．已知，如圖所示，甲、乙、丙三個人做傳球遊戲，遊戲規則如下：甲将球傳給乙，乙将球立刻傳給丙，然後丙又立刻将球傳給甲．若甲站在∠AOB内的P點，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的傳球速度相同．問乙和丙必須站在何處，才能使球從甲到乙、乙到丙、最後丙到甲這一輪所用的時間最少？

【分析】

分别作出點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2與OA、OB的交點即為乙、丙的位置.

【詳解】

【分析】

要使所走路程最短，即所走路程可以轉換成一條直線，可以通過作C、D關于

L1、L2的對稱點，即可發現解答本題的思路.

【詳解】

【點睛】

本題考查了軸對稱的性質，根據題意将題型轉化為軸對稱的題型是解題的關鍵.

【分析】

要使三角形ABC的周長最小，即A、B、C三點可轉換到一條直線上，即作點A關于射線OM、ON的對稱點P、Q，連結PQ，分别交OM、ON于點B、C，即為所求點。

【詳解】

【點睛】

本題的解題關鍵是将三角形周長最短的問題，轉換成軸對稱問題.

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