微積分是什麼

微積分的發展

表弟：“表哥，什麼是微積分？今天老子竟栽在了他手裡！”

超模君：“這簡單！微積分主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符号進行讨論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。”

表弟：“算了，你跟我說說它的故事吧，興許還能更理解。”

超模君：“好嘞，坐穩！帶你飛咯。”

休閑踏上征途中

其實，微積分的基本思想是局部求近似，極限求精确。

從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是微積分的思想在古代就已經産生了。

公元前7世紀，泰勒斯對球的面積、 體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。

公元前3世紀，阿基米德在解決抛物線下的弓形面積、球和球冠面積和旋轉雙曲線所得的體積等問題中就隐含着近代積分的思想。

中國自然也不甘落後！

中國古代數學家也産生過微積分的萌芽思想。

例如三國時期的劉徽，他對積分學的思想主要有兩點：割圓術及求體積問題的設想等等。

而微積分的思想真正地迅速發展和成熟的時期是在16世紀以後。

征途慢慢加速中

16世紀，歐洲的文藝複興達到了頂峰，帶來一段科學革命時期：一方面社會生産力迅速提高，科學和技術得到迅速發展，而另一方面，社會需求的急劇增加，給科學研究帶來了更大的問題。

這一時期，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。

這時，以常量為主要研究對象的古典數學顯然是不能滿足要求的了，于是，科學家們隻好把主要研究對象轉移到變量上來。

到了17世紀上半葉，幾乎所有的科學家都緻力于解決速率，切線，函數最值，曲線長，曲線圍成的面積、曲面圍成的體積等問題。

一系列的先驅性工作，沿着不同的方向逼近微積分的大門！

令人遺憾的是，沒有人把他們的成果聯系歸納，作出一條規律明确提出來，且作為微積分基礎特征的微分和積分的互逆關系也沒能引起足夠重視。

于是，在更高的高度把以往個别的貢獻和努力綜合在一起，得出理論，就成了17世紀下半葉數學家所要面臨的問題。

那麼誰來打開這扇門呢?

征途火力全開中

17世紀下半葉，在前人的貢獻基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分别獨自研究和完成了微積分的創立工作。

他們的最大功績是：

1.把兩個看起來毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。

2.有明确的計算步驟。

3.微分法與積分法互為逆運算。

1665年11月，牛頓發明“正流數術”（微分），次年5月又發明反流數術。

1666年10月，牛頓将流數術總結一起，并寫出了《流數簡述》，這标志着微積分的誕生。

1671年，牛頓寫了《流數法和無窮級數》，指出：變量是由點、線、面的連續運動産生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。

他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。

牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間内經過的路程（積分法）。

1684年，萊布尼茨發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大極小和切線的新方法》，它已含有現代的微分符号和基本微分法則，被認為是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。

1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，這初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系。

微積分的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多令人頭痛的問題，現在使用微積分，都輕輕松松地解決掉了，顯示出了微積分的超常威力。

征途中遇到“妖怪”！

但任何一項重大理論的完成都是不會那麼順利的，在起初都會引起一部分人極力質疑的，微積分學同樣也是。

在微積分創立之初，微積分的基礎問題就一直受到一些人的質疑和攻擊。

荷蘭數學家妞紋蒂曾在其著作《無限小分析》中指責牛頓的流數術叙述“模糊不清”，萊布尼茲的高階微分“缺乏根據”等。

其中最著名的是1734年，英國主教貝克萊的攻擊。

當時，他寫文章去攻擊流數（導數），并明确指出牛頓論證的邏輯問題，為那個無窮小量的莫名消失而質疑，進一步展開了對微積分學的進攻，由此第二次數學危機便拉開了序幕。

針對牛頓的求導過程，他說：“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。”

事情是這樣的。

牛頓在《求積術》一文中使用論證得出了y=x^n的導數是nx^(n-1),這個方法和結果在實際應用中非常成功，大大推進了科學技術的發展。

通過對

增加一個微小的非零增量

的方式求它的導數：

到這一步為止，

依然被假設為一個非零的量。

但是，随後，

忽然變成了0，所以才能得到

。

然而，牛頓的論證其實是有嚴重纰漏的：在增量無窮小的情況下，牛頓直接令其等于零從而解決問題。

但是，一個無窮小的量真的等于零嗎？

在貝克萊看來，這一過程中的前後兩個假設完全沖突。

若

不為0，那麼則不能推出任何結果；

若

為0，那麼它就不能作為分母且根本沒有增加。

牛頓對它曾作過三種不同解釋，但他始終無法解決上述矛盾。

1669年說它是一種常量。

1671年又說它是一個趨于零的變量。

1676年，它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。

顯然，牛頓時代對于極限這一問題研究尚不夠深入，使得增量時有時無的邏輯問題顯得尤為嚴重。

與“妖怪”鬥争中

1742年，馬克勞林完成了《流數論》，目的就是反駁貝克萊對牛頓的流數術的攻擊，它從若幹“無例外的原則”去推演流數理論，為分析形式化的前驅。

1754年，法國數學家達朗貝爾則提出把極限理論作為分析的基礎，并為極限做出了很好的定義。

可惜的是，當時他沒有把這種理論公式化。

波義爾做出這樣的評價：達朗貝爾沒有擺脫傳統的幾何方法的影響，不可能把極限用嚴格形式闡述。

但他是當時幾乎唯一一位把微分看成是函數極限的數學家。

1797年，法國數學家拉格朗日對嚴格化問題也開始注意了，他肯定了在極限基礎上建立微積分。

但當時極限的概念還不明确，他回避了極限，試圖把微積分建立在泰勒展式的基礎上，并從函數幂級數展開式中的系數定義出了各階導數。

後來，人們發現這隻适用于一部分函數。

整個18世紀，幾乎每一個數學家都在為微積分找出合乎邏輯的理論基礎而努力着，但所有的努力并沒有得到一個圓滿的結局。

努力扳回一局中！

直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注于微積分的嚴格基礎。

首先是波爾查諾，他開始将嚴格的論證引入到微積分中。

1816年，波爾查在證明二項展開公式時，明确提出了級數收斂的概念，并對極限、連續和變量有了更深的理解，合适地定義了導數等概念。

但是當時級數收斂概念并沒有得到公認，從而引出了許多所謂的“悖論”。

為了改變這種局面，阿貝爾指出了嚴格限制濫用級數展開及求和；

在1821～1823年間，柯西出版了《分析教程》和《無窮小計算講義》，這些書中都精确地定義了數學分析一系列基本概念。

例如，他給出了精确的極限定義，然後用極限定義連續性、導數、微分、定積分和無窮級數的收斂性。

這使微積分中的這些基本概念建立在較堅實的基礎上。

征途進攻中

在嚴格化證明微積分的潮流中，魏爾斯特拉斯總結前人的經驗，引出了如今通用的極限的ε-δ定義。

1842年，魏爾斯特拉斯引進了一緻收斂概念，并嚴格證明了函數項級數的逐項微分和逐項積分定理。

1872年，魏爾斯特拉斯構造了一個處處連續但處處不可微函數的函數，讓人們意識到了連續性與可微性的差異。

此外，他把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。

1872年，德國數學家戴德金通過他的“戴德金分割”從有理數擴展到實數，建立起了無理數理論。

在同一年，魏爾斯特拉斯和康托爾都從有理數的角度去定義了無理數，建立了實數理論。

在實數理論基礎上，他們建立起極限論的基本定理，從而使微積分終于建立在實數理論的嚴格基礎上了。

魏爾斯特拉斯是通過有界單調序列理論。

而康托爾是通過有理數序列理論

至此，第二次數學危機才宣告基本結束。

表弟：“真刺激！表哥，我得好好去學微積分了。”

“超級數學建模”（微信号supermodeling），每天學一點小知識，輕松了解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部