壓軸題中對三角形中位線的另類诠釋

關于三角形的中位線，定義是連接三角形兩邊中點的線段，性質是它平行于第三邊且等于第三邊的一半；判定方法是經過三角形一邊中點且與第三邊平行。在幾何證明中，它的作用通常是構造線段間的位置關系和數量關系，是數形結合的橋梁之一。然而，對于中位線，解讀不能僅僅隻着眼于平行、一半這些字眼，事實上，換個角度，還能有更多描述，這對數學文本解讀提出了新的要求。

題目

如圖，抛物線y=ax² 1/2x c交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，直線y=-1/2x-2經過A，C。

（1）求抛物線的解析式；

（2）點P是抛物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線AC于點M，設點P的橫坐标為m。

①當△PCM是直角三角形時，求點P的坐标；

②作點B關于點C的對稱點B'，則平面内存在直線l，使點M，B，B'到該直線的距離都相等，當點P在y軸右側的抛物線上，且與點B不重合時，請直接寫出直線l:y=kx b的解析式（k，b可用含m的代數式表示）

解析：

(1)直線已知，于是它與坐标軸的兩個交點A和C可求，分别為A(-4，0)，C(0，-2)，再将它們代入抛物線解析式中，求得a=1/4，c=-2，所以y=1/4x² 1/2x-2；

(2)①關于直角三角形存在性的讨論，可以依據直角頂點所在位置，圖中點M不可能是直角頂點，因此剩下兩種，點P和點C，即∠MPC=90°或∠PCM=90°，先看第一種，此時PC與x軸平行，如下圖：

點P(m,1/4m² 1/2m-2)的縱坐标與點C相同，得到1/4m² 1/2m-2=-2，解得m=0或m=-2，顯然m=0舍去，所以P(-2，-2)；

再看第二種，∠PCM=90°，此時PC⊥AC，如下圖：

較為簡單的思路是，作PD⊥y軸，這樣構造出△PCD，它與△AOC相似，且△AOC是兩直角邊之比為1：2的直角三角形，于是可以得到PD：CD=1：2，因此m:(1/4m² 1/2m-2 2)=1:2，解得m=0或m=6，顯然m=0舍去，因此m=6，∴P(6，10)；

②如何理解“存在一條直線l，使B，M，B'到它的距離相等”？點到直線的距離應該理解為垂線段的長度，這三個點恰好構成一個三角形，而在三角形中，是否存在一條線，使三個頂點到它的距離相等呢？答案是存在，這條線是中位線。如下圖：

我們先寫出點B'的坐标(-2，-4)和點M的坐标(m，-1/2m-2)，然後分别來尋找這三條中位線所在直線的解析式。

先求出BB'解析式為y=x-2，BM斜率為(m 4)/(4-2m)，B'M斜率為(4-m)/(2m 4)，于是過點C的兩條直線為y=(m 4)x/(4-2m)-2和y=(4-m)x/(2m 4)-2，過BM中點的直線為y=x-3/4m-2。

解題反思：

這道題的難點就是最後一問中關于到三點距離相等的直線，到三點距離相等的點我們曾經找過，在三角形内心，但到三點距離相等的直線，确實是比較少見。因此，對于三角形中位線的數量關系和位置關系，除了教材上的平行、一半之外，還可以拓展。

在平時教學過程中，作為老師，多接觸各省市中考壓軸題，見識外面更多教學研究成果，無疑對自身提升有極大幫助，中考已經結束，宜将剩勇追窮寇，不可沽名學霸王。

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