本文作者: 宋甯，山東威海人，山東理工大學數學系教師，網名 蒜泥學數學。

天不生仲尼，萬古如長夜！——【宋】朱熹

1.1 不要迷信哥，哥隻是傳說

大約在文明開始出現的時代，出于生産生活的需要，四大河谷文明（也就是古埃及、古巴比倫、古印度和古中國）陸續開始孕育出最早的數學．此時的希臘還是一片蠻荒的山地和小島．後世的曆史學家稱古希臘的這個階段為“黑暗時代”，這實在是頗為傳神：這裡沒有文明，而且土地非常貧瘠，農業生産遠遠落後于南方的埃及和東邊的巴比倫．為了生計，很多希臘人渡海來到埃及和巴比倫．有人做起買賣，有人成了雇傭兵．但無論從事什麼職業，希臘打工仔都不可避免地注意到：文明世界的城市裡有着雄偉壯麗的建築，文明世界的鄉村中有着測量完善的土地．當他們詢問文明世界的人們：這些建築是怎麼設計出來的？這些土地是怎麼測量出來的？他們得到的回答是：幾何．

在雅典衛城的帕特農神殿

更準确地來說，希臘人在埃及和巴比倫所見到的幾何是一種實驗幾何，或者稱為經驗幾何，是人們通過大量的實驗和觀測，總結出的幾何規律．這種通過大量的實驗和觀測總結規律的思維方法，通常稱為歸納法．請大家注意，這裡的“歸納法”與我們數學上所說的“數學歸納法”不同．這裡所說的歸納法，更準确地說，是“不完全歸納”．不完全歸納有兩個重要的缺陷：

• 觀測有可能不那麼精确；
• 即使觀測足夠精确，對于有無數個實例的問題來說，觀測到的實例永遠 隻是一小部分．

盡管（不完全）歸納法有這樣的缺陷，但當時的人們能夠通過（不完全）歸納發現很多數學理論，這已經是相當難得的了．

慢慢地，古希臘人終于建立起了自己的文明，古希臘的曆史也進入了“古風時代”．另一方面，前來埃及和巴比倫學習數學的人也日益增多．在不知學習了多少實驗幾何學之後，愛辯論、愛較真的希臘人終于發現了實驗幾何學的這兩個缺陷，盡管我們并不确定希臘人是在什麼時候以什麼方式發現的．我們可以腦洞大開地想象，也許故事就是在這樣一次辯論當中發生的：

【故事一】一天，古希臘人老王興沖沖地把老李叫到他家（請原諒我杜撰的兩個名字），開心地說：“老李老李，我做了一件偉大得不得了的事情！我精确無比地繪制了一百種不同的三角形，然後對它們進行了精确無比的測量， 你猜我發現了什麼？我發現所有三角形的内角和都是 180◦！你看我家院子的地上，全是我畫的圖．”于是老李來到庭院，在仔細看過一百個三角形後，若有所思地說：“ 可是無論你檢查了多少個三角形，我總可以再畫一個你沒檢查過的三角形吧！你的結論隻是對你檢查過的三角形成立，你怎麼能保證我所畫的這個新的三角形滿足你的結論呢？”這番話讓老王啞口無言，他陷入了沉思中……

也許這樣的戲碼不斷在古希臘上演，人們終于意識到實驗幾何還真是不靠譜．也許【故事一】中的老王經過幾番深思熟慮之後，終于想到了說服老李的方法，可能當時的情境是這樣的：

【故事二】在經曆了與老李的那次辯論後，老王認真地思考了一個月，這一天，他親自來到老李家，他決心一定要說服老李．他說：“老李，你承認不承認下面三個事情：

• 過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行；

• 一條直線交一對平行線，所成的同位角相等；

• 一條直線交一對平行線，所成的内錯角相等．”

老李想了一下，似乎這三件事情都是難以撼動的真理，于是點了點頭．老王接着說，既然你承認這三個事情，那麼剩下的事情就好辦了．你看，考慮一個三角形ABC．延長 BC 到某點 D，然後過點 C 作 CE ∥ AB（如圖1.1）．那麼 ∠DCE = ∠B并且 ∠ECA = ∠A，所以 ∠A ∠B ∠C = ∠ECA ∠DCE ∠C = 180◦．隻要你承認一開始我所說的三件事，就不等不承認我的結論，因為我的每一步推理都是有邏輯的．”老李發現确實是這樣的，隻要承認一開始的三個事情，那麼内角和是 180◦ 正是它們的推論．而要想推翻這個結論，隻有否定一開始那三個事情．老李點點頭，暗自想：嗯，我也要這麼幹……

圖 1.1: 老王的證明

我們腦補的故事也許真的發生過．按照古希臘人後來的說法，可能在公元前五世紀前後（實際時間應該大大晚于此時），有一些古希臘數學家針對實驗幾何的弊端，提出這樣一種探究問題的模式：

對于所要論證的命題，

• 先确定幾個“不證自明”的設定，或已知正确的命題；

• 再使用這些設定和正确的命題，通過邏輯推理，論證所研究的命題．

那麼，在邏輯推理過程正确的前提下，你隻要承認了最初的幾個設定，那麼你就不得不承認這個命題是正确的．于是，實驗幾何過渡到了推理幾何，前述推理過程被稱為數學證明．

這種以少數幾個設定為論證的出發點，通過邏輯推理論證命題的思維方法，與之前提到的（不完全）歸納法是截然不同的，我們一般稱之為演繹法．其實，演繹與（不完全）歸納，各有所長，不可偏廢．沒有（不完全）歸納，演繹就失去了進攻的目标；沒有演繹，歸納不過是合理的猜度．所以，在數學學習和研究中，往往是以歸納尋靶，以演繹論真．當然，我們書寫出的數學證明必須是演繹的，否則無從求真．

泰勒斯畫像

按照某些古希臘人的說法，第一個進行數學證明的人是泰勒斯．他是一個生活在傳說中的人，我們對于他知之甚少．實際上，很多關于他的故事并不可信，所以我們不可能知道他寫過什麼樣的數學證明．而緊随其後的就是大名鼎鼎的畢達哥拉斯．畢達哥拉斯更是一個奇人．他創立了一個秘密宗教，這個秘密宗教幾乎不與外界接觸，但是後來教團解體，教團成員四散古希臘各地，我們今天才能對這個秘密宗教了解一二．這個宗教最令人難以置信的是，它并不崇拜任何神靈，他們所頂禮膜拜的竟然是自然數．我們不妨就稱它為“Number 教”吧！ Number 教所信奉的第一教義就是：萬物皆數！這個學派相信這個世界的一切都由數決定，并可以由數解釋．據說我們故事二中的證明就來自他們．但是究竟哪些成果應該歸功于教主畢達哥拉斯，哪些成果其實是他的徒子徒孫的，我們不得而知．畢達哥拉斯的弟子們和再傳弟子們總是将很多成果歸功于畢達哥拉斯，但我們并不知道是否真的是這樣．

畢達哥拉斯雕像

但無論怎樣，在現在的西方世界，他們把勾股定理的證明歸功于畢達哥拉斯，并稱之為畢達哥斯拉定理．即使這個定理真的是畢達哥拉斯證明的，我們現在也無從知曉他的證明了，我們隻能推測：他很可能使用了相似三角形．因為有明顯的證據表明：畢達哥拉斯學派是懂得相似多邊形的．因為 Number 教的信仰中， 有一個無法割舍的東西：黃金分割．這從 Number 教的标志就可見一斑，它的标志是一個正五邊形内接一個正五角星（如圖1.2），這個圖案裡就蘊含着黃金分割．

圖 1.2: 畢達哥拉斯學派的标志

在畢達哥拉斯學派正在野蠻生長的時候，古希臘世界卻在醞釀一場革命：雅典的平民推翻了暴君的統治，随後雅典逐步開始建立奴隸制民主政體，古希臘的曆史進入了“古典時代”，随後這場風暴幾乎席卷了古希臘世界各地．偏偏這個時候，畢達哥拉斯學派卷入政治事件中，于是 Number 教的教團不得不解體，畢達哥拉斯也在不久去世，他的門徒們四散古希臘各地．但 Number 教的末日卻意外地推動了古希臘數學的發展．伴着畢達哥拉斯門徒的步伐，原來隐秘的推理幾何也随之在希臘各地發展起來，數學證明這把大火也随之在古希臘世界熊熊燃燒起來．

當然，現代數學史家對泰勒斯和畢達哥拉斯是否已經開始演繹推理是持保留看法的．因為泰勒斯和畢達哥拉斯的故事大部分都來自于柏拉圖學園學者的著述．而柏拉圖學園興起的時代要晚于畢達哥拉斯的時代，而且柏拉圖學園又明顯受到畢達哥拉斯學派的重大影響，所以那些著述也許隻是傳說．

柏拉圖在雅典雕像

但無論如何，畢達哥拉斯學派晚期的成員肯定是懂得推理證明的，他們很多人同時也是柏拉圖學園的早期成員．那麼，“柏拉圖學園”又是怎麼回事呢？它是一所學術機構，位于雅典城外西北角的 Akademy，你可以把它類比于現在的大學，其創始人是著名哲學家柏拉圖，學園的門口挂着一塊牌子，赫然寫着：“不懂幾何者不得入内！”

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