方程的分類

考點

2.1 一元一次方程及可以化為一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

1、方程

　　含有未知數的等式叫做方程。

2、方程的解

　　能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

3、等式的性質

　　（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式。

a=b←→a c=b c

　　（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是零），所得結果仍是等式。

a=b←→ac=bc (c≠0)

4、一元一次方程

　　隻含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标準形式，a是未知數x的系數，b是常數項。

注意：解法

　　　一元一次方程的解法：去分母→去括号→移項→合并同類項→

系數化成1→解。驗根

說明：對于以為未知數的最簡方程，若沒有給出字母a和b的取值範圍，其解有下面三種情況：

①時一元一次方程，有唯一解．

②，時，方程無解．

③，時，方程有無數個解．

　　分式方程

5、分式方程

　　分母裡含有未知數的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法

　　解分式方程的思想是将分式方程轉化為整式方程。它的一般解法是：

　　（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

　　（2）解所得的整式方程

　　（3）驗根：将所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法

　　換元法：

　　換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

注意．方程的增根與遺根

(1)在方程變形時，能産生不适合原方程的根叫做方程的增根．

(2)在方程變形時，由于盲目變形，在方程的兩邊同除以含有未知數的代數式，從而導緻方程遺根．

8、常用的相等關系

1． 行程問題（勻速運動）

　　基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：　　 =;　　⑵追及問題（同時出發）：　　　　若甲出發t小時後，乙才出發，而後在B處追上甲，則　　　　⑶水中航行：;

⑷配料問題：溶質=溶液×濃度

溶液=溶質 溶劑

⑸．增長率問題：

⑹．工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看着單位1）。

⑺．幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

　　注意語言與解析式的互化

　　如，多、少、增加了、增加為（到）、同時、擴大為（到）、擴大了、......

　　又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a 10b c，而不是abc。

　　注意從語言叙述中寫出相等關系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y 3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。㈤注意單位換算

如，小時分鐘的換算;s、v、t單位的一緻等。

　　列方程（組）解應用題

　　是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什麼，未知量是什麼，問題給出和涉及的相等關系是什麼。

⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

　　綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），在由數學問題的解決而導緻實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起着承前啟後的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

考點

2.2 二元一次方程組

1、二元一次方程

　　含有兩個未知數，并且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

　　使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。一般形式：（不全為0）

4二元一次方程組的解

　　使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方程組的解法

　　基本思想：消元

解法：（1）代入法（2）加減法⑶二元一次方程組一元一次方程組．

6、三元一次方程

　　把含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。(1)一般形式：

(2)解法：

三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程組．

考點

2.3一元一次不等式〔組〕

1、不等式

　　用不等号表示不等關系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2、不等式的解集

　　對于一個含有未知數的不等式，任何一個适合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。

　　對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

　　求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數軸表示不等式的方法

4、不等式基本性質

⑴、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等号的方向不變。

⑵、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等号的方向不變。

⑶、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等号的方向改變。

　　　不等式的性質：⑴ab←→a cb c

⑵ab←→acbc(c0)

⑶ab←→acbc(c0)

⑷（傳遞性）ab,bc→ac

⑸ab,cd→a cb d.

5、一元一次不等式

⑴、一元一次不等式的概念

　　一般地，不等式中隻含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

⑵、一元一次不等式的解法 （在數軸上表示解集）

　　解一元一次不等式的一般步驟：

　　（1）去分母（2）去括号（3）移項（4）合并同類項（5）将x項的系數化為1

即通過去分母、去括号、移項合并同類項，把不等式化為(或)()的形式，再把系數化為1得出不等式的解集．

說明：在去分母和化系數為l時，需特别注意不等式兩邊同時乘以(或除以)一個負數，要将不等号改變方向，其解集情況如下：

①當時，(或)．

②當時，(或)．

③當時，若，不等式無解(或不等式的解集為一切實數)．

④當時，若，不等式的解為一切實數(或不等式無解)．

6、一元一次不等式組

⑴、一元一次不等式組的概念

　　幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

　　幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

　　求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

　　當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

⑵、一元一次不等式組的解法 （在數軸上表示解集）

　　（1）分别求出不等式組中各個不等式的解集

　　（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

即先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即為不等式組的解集．

兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般情況可見下表(其中)．口訣不等式組解集在數軸上表示

同小取小

同大取大

大小取中

兩背為空

不等式組無解

考點

2.4 一元二次方程

1、一元二次方程

　　含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

　　，它的特征是：等式左邊十一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。

3、一元二次方程的解法

①、直接開平方法

　　利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法适用于解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b0時，方程沒有實數根。

②、配方法

　　配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有着廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有。

③、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程的求根公式：　　　　④、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判别式

　　根的判别式

　　一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用來表示，即

①方程有兩個不相等的實數根．

②方程有兩個相等的實數根．

③方程無實數根．

④方程有兩個實數根。反之：①一元二次方程有兩個不等實根

②一元二次方程有兩個相等實根

③一元二次方程無實根

④一元二次方程有兩個實根

結論：（1）若二次三項式是完全平方式，則方程的判别式=0。

（2）方程有實數根，包括兩種情況：①有兩個實數根，②，隻有一個實數根。

　　說明：根的判别式最常見的用法有：

①不解方程判别一元二次方程根的情況。

②由方程根的情況确定某些字母的值或範圍．

5、一元二次方程根與系數的關系

　　如果方程的兩個實數根是，那麼，。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。

注意⑴逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

⑵常用等式：　　　　　　　　⑶，⑷

6、一元二次方程的應用題

（1）商品利潤問題：每件商品利潤=售價-進價

漲價時：

　　商品總利潤=每件商品利潤×商品件數=(原來利潤 漲價)×（原來件數-減少件數）

降價時：

　　商品總利潤=每件商品利潤×商品件數=(原來利潤-降價)×（原來件數 增加件數）

（2）增長率問題：

①（其中是原來數量，是增長次數，是次增長後到達數）②

（3）矩形内修路問題的常用思路是用平移集中法。

列方程(組)解應用題，千萬不要死記硬背例題的類型及其解法，要具體問題具體分析，一般來講，應按下面的步驟進行：

1．審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應用問題的全部含義的等量關系．

2．設未知數：選擇一個或幾個适當的未知量，用字母表示，并根據題目的數量關系，用含未知數的代數式表示相關的未知量．

3．列方程(組)：根據等量關系列出方程(組)．

4．解方程(組)：其過程可以省略，但要注意技巧和方法。

5．檢驗：首先檢查所列方程(組)是否正确，然後檢驗所得方程的解是否符合題意．

6．寫答：不要忘記單位名稱．

7、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母．

②特殊解法：換元法．

(2)驗根：由于在去分母過程中，當未知數的取值範圍擴大而有可能産生增根．因此，驗根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．

說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法．

8．二元二次方程組

(1)由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組．

(2)由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組．

基本解法是：消元，轉化為解一元二次方程；降次，轉化為解二元一次方程組．

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!