微積分、高等數學和數學分析，這三個詞對于絕大多數理工科專業的學生來說，是比較熟悉的，畢竟曾經被折磨得一塌糊塗。最近浙江大學的蘇德礦教授（江湖人稱“礦爺”）微博直播微積分，成為了網紅；在礦爺的經典語錄中，“從前有棵樹，叫高數，上面挂了很多人；旁邊有座墳，叫微積分，裡面葬了很多人”這句流傳甚廣，其經典之處在于生動地描繪出了高等數學和微積分的難度。

同一所學校同一級的同學，有些學習的課程是高等數學，而有些是數學分析。微積分、高等數學和數學分析，它們之前到底有什麼聯系和區别呢？今天的這篇文章，希望可以為你解答些許的疑惑。

微積分：兩種運算 兩個概念 一個定理

我們首先來聊微積分，一方面因為它作為課程，既是高等數學的核心内容，又是數學分析的核心内容，另一方面它是數學的工具，尤其是高等數學的基礎工具。

因此，我們可以看出，微積分的核心内容就是學習兩種新運算，了解兩樣新概念，熟悉一條基本定理而已。

高等數學：微積分 空間解析幾何 常微分方程

微積分依然是高等數學的核心内容，國内高等數學主要是為非數學專業的理工科學生開設的，主要的目的是解決工程上遇到的一些問題，例如求體積、求周長，求速度等等。所以高等數學除了要介紹數學知識，更要學生理解各個數學概念的實際意義是什麼，比如求導可以理解為求瞬時速度，可以理解求增長律，積分可以理解為求面積，求功等等。對于實際問題，數據往往是複雜的，算式也往往是冗長的；對于不容易積分、不容易求導的實際問題，我們怎麼去求其高精度的近似解呢？那麼就需要引進級數這一概念，例如将不易找到原函數的函數進行泰勒展開再逐項積分，再例如利用牛頓差值法計算方程的近似解。

在這些問題中最令人苦惱的往往都是複雜的計算，因此高等數學對學生的計算能力要求非常高。高等數學的主要内容就是三條：理解數學概念背後的實際含義；熟練運用數學工具求導求積分；會使用一些手段對實際問題進行精确估計。這些可以看作是對微積分的運用，但一切仍然停留在對運算理解上。

隻可惜的是，國内某些高校的高等數學老師，并不能給學生講清楚數學概念背後的物理或者幾何意義，而更多地讓學生記住定理和公式，遇到題目時，會計算就好了。這就導緻了學生學完高等數學後，無法搭建起完整的知識框架，領悟不到書本章節間内容的緊密聯系。

數學分析：學習研究複雜函數的方法

數學分析作為數學系本科生的基礎課是整個分析學的基礎，與微積分、高等數學有着本質的區别。

什麼是分析學？是分析變量以及諸多變量之間關系的學科，在數學中主要利用函數來刻畫變量與變量間的關系，所以數學分析的研究主體應當是函數。在中學，我們已經學習過六類簡單初等函數（常指對幂，正反三角），并且學習過一些研究初等函數的手段，但這些函數都是極其特殊的，比如他們都是逐段連續的，并且是無窮階可導的。

學習數學分析的目的就是将函數系進行大範圍擴張，去學習并且研究那些解析式不規則、不連續或者不可導的函數，這樣的函數比起連續的函數可以說要多無窮多倍。那用什麼方式去刻畫這樣的函數呢？數學分析中介紹的方法主要有兩個：含參變量積分與函數項級數。特别的，所有的初等函數都可以表示為函數項級數，但函數項級數要比初等函數的範圍大很多很多，我們可以利用它構造各種千奇百怪的函數，例如處處不可導的連續函數，在有界區間内圖像長度為無窮大的函數等等。這些函數的表示要比初等函數複雜很多，研究其變化性質就會變得困難得多，對此我們需要學習一些系統的定理與方法，将這些知識組合在一起就構成了數學分析這門學科。

因此說，與微積分、高等數學有明顯的區分，學數學分析的目的不是學習導數或者積分這樣的運算，而是要擴大函數範圍，學習研究複雜函數的方法。

本文參考資料

知乎ID：大少工作室

微博：浙江大學蘇德礦

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