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圓的面積怎麼用微積分解釋

圖文更新时间:2024-07-25 05:07:16

這是《機器學習中的數學基礎》系列的第8篇，也是微積分的第1篇。

提起微積分，你的第一印象是什麼？複雜的公式？艱難的求導？今天我們抛開這些統統不談，從最常見的圓的面積切入，讓你更直觀、更形象地理解微積分。

說起圓的面積，大夥都知道，就是πr²。那這個是怎麼來的呢？我們先畫個圓：

圓的面積怎麼用微積分解釋（從微積分的角度來看圓的面積為什麼是πr²）1

如上圖，這是一個圓，它的半徑是r。那怎麼求它的面積呢？這裡我們用分割法，把圓分割成一個個的小圓環，如下圖所示：

圓的面積怎麼用微積分解釋（從微積分的角度來看圓的面積為什麼是πr²）2

那麼圓的面積，就等于這些圓環的面積之和。而且可以看出，越往裡，圓環的周長越小；越往外，圓環的周長越大。我們單獨拿一個圓環出來，假設它是用紙做的，用剪刀剪開，就得到下面這個梯形：

圓的面積怎麼用微積分解釋（從微積分的角度來看圓的面積為什麼是πr²）3

這個梯形的下底邊的長度是2πr，也就是這個圓環對應的周長，r就是這個圓環所對應的半徑，梯形的高我們暫且就叫他dr吧。那麼，我們分割的圓環越細，也就是說dr越小，這個梯形的面積就越接近于長方形的面積。其中，長方形的底就是2πr，高就是dr。

好，現在我們要做一個遊戲。把圓中所有的圓環都抽出來，并且都剪開，就得到了一個又一個的長方形（近似）。然後，把這些小長方形都豎起來，按從小到大的順序排列好，就得到了下圖：

圓的面積怎麼用微積分解釋（從微積分的角度來看圓的面積為什麼是πr²）4

我們想要圓的面積，也就是上圖中綠色小長方形的面積。觀察上圖，可以發現，我們把圓分割的越細，也就是每個長方形越窄，那綠色長方形的面積就越接近于三角形OAB的面積。那當我們把圓分割的足夠細的時候，也就是說當長方形的寬接近于0，但不等于0的時候，可以認為，圓的面積就是三角形OAB的面積。

再來仔細看看這個△OAB，三角形的底OA是啥呢？OA就是由很多個小長方形的寬組合而成的，那小長方形的寬加起來，就是圓的半徑r。三角形的高AB呢？它就是最外面那個圓環的周長，也就是2πr。所以，這個三角形的面積就是底乘高再除以2。也就是說，圓的面積p=1/2*r*2πr=πr²。

OK，大功告成。

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