謹将此文，獻給

(萱萱∪理工生∪翠花∪數理姜辣蒜)

數理姜辣蒜于湘大，2021.05.21

測試樓前風吹雨

畫眉塘裡我唱歌

人生喜郁終須散

交并差補自離和

最近睡不好，上床好久都不能入睡，搞本《數學分析》來床頭催眠。

第一頁，集合。

集合，集合，舊恨上心頭。

九四年新進高一，雲裡霧裡。定義都知道，結論也能記得，抛開韋恩圖，推理很是個繞。而後，單元測驗不及格。

全班僅有的兩個不及格，我榮居其一。另外一位是鄰村的，我曾經的小學同班同學兼當時的高中同班同學。要知道，他是當初小升初到漣源一中再本部初中保送升的高中；而我是放棄中專（94年那會中專還很是個香饽饽）進的漣源一中！

彼時彼刻，難兄難弟，執手雙雙，四目相對，或嚎或啕，且凝且咽，自信尊嚴，灰飛煙滅。

後來跌跌撞撞進了湘潭大學學化學。也曾高數一枝獨秀。但姜辣蒜自己知道，數學于我，依舊是一杯離心而成的澄清溶液，渾濁随時複發。集合就是其中塵埃，大大一顆。

物換星移廿六秋，眼花鬓白點新燭，催眠初衷渾不計，誓把這顆溶今時。

本着達則兼濟天下的夫子原則，當然不能隻我個人把它弄通透，應該必須舍我其誰地創立集合九陰白骨爪：讓所有新手迅速掌握、應用集合；讓所有的老手在時隔多年需要重新撿起它的時候，稍一過目，了然于胸。

找七寸。

集合麻煩，根本原因在于交并補很繞。不直觀，不親民。盡管韋恩圖用來驗證、理解，那是效果杠杠，但用來推導證明，你讓隻憑計算算出安培定理的安培、一統電磁江湖的麥克斯韋、高斯、歐拉等往聖先賢情何以堪？

更何況，四個以上的集合，你構築個韋恩圖，試試看。

韋恩圖别指望了，還有啥招？

當然有，國際慣例，放大招之前，先要準備準備。

交（），并（），補（，），空集（），子集（，），全集（），屬于（），韋恩圖，一筆帶過。

相離，相重，和集

若， 稱與相離，簡稱相離。

相重與相離剛好相反，若，則稱與相重，簡稱相重。

由彼此相離的多個集合相并而成的一個集合，稱這個表達式構成一個和集，簡稱為和。顯然和集是并集的特别款（還可能是爆款哦）。這一概念将會帶來理解、表述上的方便。

重新審視并啟用減運算符，，在運算過程中取代相對補集，即。

新引入加運算符，記作，在運算中代替并集，繼承的交換律，即：

上式左邊的括号是可以去掉的，用它，則隐含了運算優先級規則，即并高于加。四個運算符的優先級定義為：

萬事俱備，待我集合。

不騎白馬，不駕祥雲，就是交、加、減三樣法寶，用運算能力取代邏輯能力，收服已有性質、定理和應用，更加輕松，還能多收服那麼一丢丢。

請聞我詳。

實數運算表達式中，各項帶符号自由移動不影響運算的最終結果，故其運算過程具有很多用來簡化運算的技巧。這個運算大家都玩幾十年了，什麼交換律結合律一堆規則，相信大家熟悉到了骨髓。如果集合也可以用加減研究運算，那不是直觀了當，爽翻天？

然而，若各表示的是集合，運算表達式相應地成了集合運算，其中不能随意移項，移項通常情況下會改變運算結果。

通常通常，有沒有峰回路轉苦盡甘來的異常？

有，若彼此相離，則集合運算表達式中的後三項可以自由移動。眉毛胡子，你愛先抓誰就先抓誰，你愛先畫誰就先畫誰，随你任性。

一生二，二生三，三生萬物。有此一特例，有交加減這三個運算符，足以幹翻集合。

若有，恒有

兩個集合的并集，總可以分解、構造成一個包括它們的交集在内的三個相離集合的和集，即

其中

證明：

原命題得證。

證明：

故原等式成立。

特别的，取，則有，将交與減聯系了起來。

這裡借用了布爾代數的成果用描述法證明。盡量少用，後面會再用一次。

若，則

。

該性質也可分解為以下四個：

這個東東很直觀，好理解，我這裡隻以

為例證明。

證明：

原命題得證。

證明：

而

故原命題成立。

顯然，上述性質的拓展：也成立。

運算次序自由律：若運算式中， n個集合彼此相離，那麼任意集合（取1至n），都可以帶其前面運算符在後任意移動而不改變運算結果。

可以這麼闡述下這個命題，一夥人，一個靶，有打靶的，還有修靶的，規定每個人打和修隻能二選一，打或修的位置都定死，彼此位置不重疊，那麼，誰先誰後對結果有影響嗎？當然沒有。

這種感性模型隻能幫助理解，證明還得另謀出路。

有三種情況。

加法繼承了并的交換律，不僅後面的n項，前面的集合都可以參與移項。即便彼此相重，命題也成立。

如此，借助的邏輯運算，用差的定義，将連減轉化成減去一個和集。而和集内元素滿足交換律可以任意移項，故原命題得證。這個變換與代數裡的連減一樣，爽歪歪，很好用。

這裡彼此相重也成立。

證明：

而相離，即，上式右邊

故三個集合的情況下原命題成立

原命題等價于：運算式中任意互換位置不影響集合表達式的運算結果。

因為公式過長，網頁編輯公式不便，這裡不詳細推導，簡要提一句：将帶符号的項通過次往前移項到後面，再将帶符号的通過次往後移項移到後面，就能實現。

至此，相離集合移動自由的這一性質，得到充分論證。

證明：

故原命題得證。

令，上述命題就是，似曾相識燕歸來。

我們來看看兩個差相加的情況，即的情況。

令、

則

特别的，若，則有，前度劉郎今又來。

某班有 36 名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小組。已知參加數學、物理、化學小組的人數分别為26、15和13人，同時參加數學和物理小組的有 6 人，同時參加物理和化學小組的有 4 人，那麼同時參加數學和化學小組的共有多少人？

由題意，已知：全班同學總人數；參加數學、物理、化學的人數分别為、、；同時參加數學物理的、同時參加物理和化學，同時參加數理化三科的。未知：一門都未參加的人數為。

求：同時參加數學和化學小組的人數。

畫韋恩圖：

學生參與課外探究小組人員分布韋恩圖

由圖有：

其中的指人數，下标是指數學，下标是指同時參加數學和物理探究小組。其餘類推。

解上式得

當有給定值時，此解法很便捷。

設班級全體同學為集合，凡報了數、理、化同學分别構成的集合、和，報數理兩門、數化兩門和理化兩門的學生分别構成集合、和人，報了數理化三門的人構成集合，一門都沒報的為。顯然上述集合隻有與其它集合一定相離。其它非空集合彼此之間相重。

再設隻報了一門數學而未報其他課程的的學生構成，隻報物理的為、隻報化學的為；報了且隻報數理兩門的學生構成集合為、數化兩門的構成集合、理化兩門的構成集合。這些集合與、構成了彼此相離的一組集合。解題過程中不再說明。

解題的思路是，以表述該集合的人數（如是指集合的學生人數），依照和集的形式構造代數方程，再聯立方程求解。

解：

聯立（1）（2）（3）得

同理：

而

聯立（4）（5）（6）（7）

又由（4）

由（2）

由（3）

聯立（9）（10）（11）

同理：

聯立（8）（12）（13）（14）解得

顯然，隻能取0或1，代入數據，相應的，隻能取8或9。

答：同時參加數學和化學這兩門課程的同學有8人或者9人。

這道題姜辣蒜用了兩種解法。前一種簡潔，是目前教學中大家追求的（重技巧而不重思想，深痛之），但其本質上是代數解法，再則集合數目超過4個時，韋恩圖無能為力。第二種解法是借助集合運算轉化成和集的形式後，再轉化為代數方程，雖然求解過程較長，但邏輯更嚴謹，思路也清晰，求解方法具有普遍性。隻是因為網絡公式編輯限制了公式長短，進而導緻推導表述不簡潔，很遺憾。前面采用描述法論證部分性質的時候，表述不規範，也是這個原因。

總之，數學不是數術，如果能悟到這一點，您對數學的理解，算入門了。

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