矩陣的秩可以直觀地理解為篩眼的大小:
下面就來解釋這句話是什麼意思?
1 矩陣的作用
假設對于向量 x1 、 x2、 x3、x4 有:
上述關系可以用圖像來表示,左側的向量 x1 、 x2、 x3、x4,在 A 的作用下,變為了右側的向量 y1 、y2 、y3 、y4 :
将各個向量依次連起來就得到了兩個矩形。那麼可以這麼理解,左側的矩形在 A 的作用下,變為了右側的矩形:
2 矩陣的秩
如果 A 的秩不一樣,那麼左側的矩形在 A 的作用下,右側就可能得到不同的圖形:
有一個很明顯的特點,矩陣的秩 rank(A) 越小,得到的圖形越小(這裡直接給結論了,細節就不展開了):
3 矩陣是篩子
因為上面的結論,所以可以将矩陣 A 看作一個篩子:
那麼矩陣的秩 rank(A) 可以看作篩眼的大小,rank(A) 越小對應的篩眼越小(忽略掉篩子的形狀,下面用帶網格的圓來表示篩子):
篩眼越小,自然漏過去的越小。
4 矩陣複合的秩
把矩陣的秩看作篩眼的大小還是有一定解釋能力的。比如矩陣的秩有如下的性質,該性質也稱為矩陣複合的秩:
A 、B 可以看作兩個篩子:
可以用帶網格兩個圓來表示這兩個篩子,可以看到各自的篩眼大小不同,也就是各自的矩陣的秩不相同:
當這兩個篩子疊在一起的時候,疊加部分的篩眼變小了,比單獨某一個篩子的篩眼要小:
所以此時有:
當然還有可能 A 、B 如下:
這時疊在一起時,疊加部分的篩眼等于其中某一個篩子的篩眼:
所以此時有:
綜合起來就是:
5 滿秩矩陣複合的秩
滿秩矩陣 P 可以看作完全沒有篩眼的篩子:
這樣兩者複合,篩眼大小就完全取決于 A :
所以可得到滿秩矩陣複合的性質:
更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!