在近年來的公職考試中，容斥問題的考查頻次越來越高，并且對于容斥問題的考查已經不僅僅是對于公式的考查，現在還會與最值問題進行結合。那麼關于容斥與最值結合的題目，我們也給大家總結了一些技巧和方法，大家可以直接套用這個方式去進行解題。

一、題型特征：題幹主體為容斥問題，問題中出現“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼。

例如：某單位有72名職工，為豐富業餘生活，拟舉辦書法、乒乓球和圍棋培訓班，要求每個職工至少參加一個班。已知三個班報名人數分别為36、20、28，則同時報名三個班的職工數至多是()人。

二、解題思路：将所求量設為未知數，根據題目要求結合容斥問題的公式進行列式，分析未知數的大小極值關系，得到結果。

三、例題詳解：

【2019遼甯】某班在籌備聯歡會時發現很多同學都會唱歌和樂器演奏，但有部分同學這2種才藝都不會。具體有4種情況：隻會唱歌，隻會樂器演奏，唱歌和樂器演奏都會，唱歌和樂器演奏都不會。現知會唱歌的有22人，會樂器演奏的有15人，兩種都會的人數是兩種都不會的5倍。這個班至多有()人。

A.27B.30

C.33D.36

【答案】C

【思路解析】設該班共有x人，唱歌和樂器演奏都不會的有y人，則兩種都會的有5y人，根據二集合容斥公式可得：x-y=22 15-5y，化簡得：x=37-4y。要使x最大，則y應最小，當y=1時，x=33，故這個班至多有33人。因此，選擇C選項。

【2019甘肅】某單位工會會員60人，現在組織會員報名參加興趣活動小組，其中報名徒步組的有40人，羽毛球組的有38人，乒乓球組的有31人，這三項活動都報名的有18人，問這個單位工會會員中最多有多少人三個小組都沒有報名?

A.14B.15

C.16D.18

【答案】A

【思路解析】設報名兩項的人數為x，三項都未報名參賽的人數為y，根據三集合非标準型公式可得：40 38 31-x-2×18=60-y，化簡得y=x-13。要讓三項都未報名的y最多，則讓x盡量多。考慮讓報名兩項的人數x盡量多，則除了報名三項之外的人，剩餘盡量報名兩項，此時x最多為(40 38 31-3×18)÷2=27.5(人)，向下取整為27人，即x最多為27，故y最多為x-13=27-13=14(人)。因此，選擇A選項。

【2019青海】一次期末考試，某班同學成績統計如下表：

求：這個班最多有多少人?

A.45B.51

C.53D.55

【答案】B

【思路解析】設班級總數為x人，其中三門都90分以上的為y人，根據三集合容斥标準公式有x-5=23 21 20-8-6-10 y，化簡為x=45 y。其中y最多隻能有6人，那麼x此時最大為45 6=51(人)。因此，選擇B選項。

對于這種類型的題目，重點就是最後分析所求量的大小關系，那麼大家在進行分析的時候，要注意好題目的限定條件，對應确定其中的範圍，最後計算求解。相信大家用好這個方法，對于容斥問題 最值問題的計算應該會非常快速。

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