對于中小學的數學學習者而言，學習方法非常重要，用帶着研究的方法去學習數學，其效果必然會事半功倍。

圖1

美籍華人陳省身教授，是當代舉世聞名的數學家，他十分關心祖國數學科學的發展，人們稱贊他是"中國青年學子的數學總教練"。

1980年，陳教授在北京大學的一次講學中語驚四座："人們常說，三角形的内角和是180度，但這是不對的。"

大家愕然，怎麼回事？三角形的内角和是180度，這不是數學常識嗎？接着，這位老教授對大家的疑問做出了精辟的解答：

說"三角形内角和為180度"不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說"三角形的外角和是360度！"。

把眼光盯住内角，隻能看到：

三角形的内角和是180度；

四邊形的内角和是360度；

五邊形的内角和事540度；

……

n邊形的内角和是（n-2）×180度。

這就找到了一個計算内角和的公式，公式裡出現了邊數n。

如果看外角呢？

三角形的外角和是360度；

四邊形的外角和是360度；

五邊形的外角和是360度；

……

任意n邊形的外角和都是360度。

這就把多種情形用一種簡單的結論概括起來了。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。

設想一隻螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子（圖2），每經過一個頂點，它前進的方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個頂點處的外角。爬了一圈，回到原處，方向和出發時一緻了，角度改變量之和恰好是360度。

圖2

這樣看問題，不但給"多邊形外角和等于360度"這條普遍規律找到了直觀上的解釋，而且立刻把我們的眼光引向了更廣闊的天地。

一條凸的閉曲線——卵形線，談不上什麼内角和與外角和。可是螞蟻在上面爬的時候，它的方向也在時時改變。它爬一圈，角度改變量之和仍是360度（圖3）。

圖3

"外角和為360度"，這條規律适用于凸封閉曲線！不過，叙述起來， 要用"方向改變量之和"來代替"外角和"罷了。

對于凹多邊形，就要把"方向改變量總和"改為"方向改變量的代數和"（圖3）。不妨約定：逆時針旋轉的角為正角，順時針旋轉的角為負角。當螞蟻在圖示的凹四邊形的邊界上爬行的時候，在A1，A2，A4處，由方向改變所成的角是正角：∠1，∠2，∠4；而在A3處，由方向改變所成的角是負角：∠3。如果仔細計算一下，這四個角正負抵消，代數和恰好是360度。

圖4

從普通的、衆所周知的事實出發，步步深入、推廣，挖掘出廣泛适用的深刻規律，對一個普通的數學學習者來說，是一個提升數學基礎的好方法，也有助于培養窮追不舍、孜孜以求探索真理的精神。

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