A QUARK
扯閑篇兒
為什麼a×b=b×a
這周說說乘法交換率
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先回顧一下乘法的定義
乘法是滿足以下兩種規則的運算：
1. 對于任意自然數m，0 × m = 0
2. 對于任意自然數m和n，n' × m = n × m m
與以往一樣，
這次的證明也分
一，證明：
對自然數m，m×0=0
∵當m=0時，0×0=0
（乘法定義1）
現假定m×0=0
∴m'×0=m×0 0=0 0
（乘法定義2）
∴m'×0=0
（加法定義1）
∴對任意自然數m，均有m×0=0
（皮亞諾公理5）
證畢
二，證明：
對任意自然數n和m，n×m'=n×m n
當n=0時
∵0×m'=0×m 0
（乘法定義2）
∴0×m'=0
（乘法定義）
假定n×m'=n×m n
求證n'×m'=n'×m n'
∵n'×m'=n×m' m'
（乘法定義2）
n×m'=n×m n
（假設）
∴n'×m'=n×m n m'
∴n'×m'=n×m (n m)'
（加法結合律＆加法定義2）
∵n'×m n'=n×m n' m
（乘法定義2）
∴n'×m'=n×m (n m)'
（加法結合律＆加法定義2）
∴n'×m'=n'×m n'
∴對任意自然數n和m，n×m'=n×m n
（皮亞諾公理5）
證畢
三，證明：
對任意自然數n和m，n×m=m×n
當n=0時，
0×m=0
（乘法定義1）
m×0=0
（已證）
∴0 m=m 0
假設n×m=m×n
求證：n'×m=m×n'
∵n'×m=n×m m
（乘法定義2）
n×m=m×n
（假設）
∴n'×m=m×n m
∵m×n'=m×n m
(乘法定義2)
∴n'×m=m×n'
∴對任意自然數n、m，均有n×m=m×n
（皮亞諾公理5）
證畢
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誇克歐氏
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