數學函數知識點歸納高中?高中數學輔導知識點歸納，高中數學輔導就找耿保陽老師，我來為大家講解一下關于數學函數知識點歸納高中?跟着小編一起來看一看吧!

數學函數知識點歸納高中

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〖1.2〗函數及其表示

【1.2.1】函數的概念

（1）函數的概念

①設 A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A中任何一個數 x，

在集合 B中都有唯一确定的數 ( )f x 和它對應，那麼這樣的對應（包括集合 A，B以及

A到 B的對應法則 f ）叫做集合 A到 B的一個函數，記作 :f A B ．

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

③隻有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．

（2）區間的概念及表示法

①設 ,a b是兩個實數，且a b ，滿足a x b  的實數 x的集合叫做閉區間，記做[ , ]a b ；

滿足a x b  的實數 x的集合叫做開區間，記做 ( , )a b ；滿足 a x b  ，或 a x b 

的 實 數 x 的 集 合 叫 做 半 開 半 閉 區 間 ， 分 别 記 做 [ , )a b ， ( , ]a b ； 滿 足

, , ,x a x a x b x b    的實數 x的集合分别記做[ , ), ( , ), ( , ], ( , )a a b b    ．

注意：對于集合{ | }x a x b  與區間 ( , )a b ，前者 a可以大于或等于b，而後者必須

a b ，（前者可以不成立，為空集；而後者必須成立）．（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

① ( )f x 是整式時，定義域是全體實數．

② ( )f x 是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．

③ ( )f x 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合．

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等

于 1．

⑤ tany x 中， ( )2

x k k Z   ．

⑥零（負）指數幂的底數不能為零．

⑦若 ( )f x 是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各

基本初等函數的定義域的交集．

⑧對于求複合函數定義域問題，一般步驟是：若已知 ( )f x 的定義域為[ , ]a b ，其複合函

數 [ ( )]f g x 的定義域應由不等式 ( )a g x b  解出．

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類讨論．

⑩由實際問題确定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．

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（4）求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值

域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值

域，其實質是相同的，隻是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：将函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然後根據變量的取值範

圍确定函數的值域或最值．

③判别式法：若函數 ( )y f x 可以化成一個系數含有 y的關于 x的二次方程

2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y   ，則在 ( ) 0a y  時，由于 ,x y為實數，故必須有

2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y     ，從而确定函數的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函數的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可将代數函數的最

值問題轉化為三角函數的最值問題．

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系确定函數的值域或最值．

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法确定函數的值域或最值．

⑧函數的單調性法．

【1.2.2】函數的表示法

（5）函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表

示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．

（6）映射的概念

①設 A、 B是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A中任何一個元素，在

集合 B中都有唯一的元素和它對應，那麼這樣的對應（包括集合 A， B以及 A到 B的

對應法則 f ）叫做集合 A到 B的映射，記作 :f A B ．

②給定一個集合 A到集合 B的映射，且 ,a A b B  ．如果元素 a和元素b對應，那麼

我們把元素b叫做元素 a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函數的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數的單調性

①定義及判定方法

函數的

性 質定義 圖象 判定方法

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函數的

單調性

如果對于屬于定義域I内

某個區間上的任意兩個

自變量的值 x1、x2,當 x．1．<．

x．2．時，都有 f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，

那麼就說 f(x)在這個區

間上是增函數．．．．x 1 x 2

y=f(X)

x

y

f(x )1

f(x )2

o

（1）利用定義

（2）利用已知函數

的單調性

（3）利用函數圖象

（在某個區間圖

象上升為增）

（4）利用複合函數

如果對于屬于定義域I内

某個區間上的任意兩個

自變量的值 x1、x2，當 x．1．<．

x．2．時，都有 f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，

那麼就說 f(x)在這個區

間上是減函數．．．．

y=f(X)y

xo x x 2

f(x )

f(x )2

1

1

（1）利用定義

（2）利用已知函數

的單調性

（3）利用函數圖象

（在某個區間圖

象下降為減）

（4）利用複合函數

②在公共定義域内，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去

一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．

③對于複合函數 [ ( )]y f g x ，令 ( )u g x ，若 ( )y f u 為增， ( )u g x 為增，則

[ ( )]y f g x 為增；若 ( )y f u 為減， ( )u g x 為減，則 [ ( )]y f g x 為增；若 ( )y f u

為增， ( )u g x 為減，則 [ ( )]y f g x 為減；若 ( )y f u 為減， ( )u g x 為增，則

[ ( )]y f g x 為減．

（2）打"√"函數 ( ) ( 0)af x x ax

   的圖象與性質

( )f x 分别在 ( , ]a  、[ , )a  上為增函數，分别在

[ ,0)a 、 (0, ]a 上為減函數．

（3）最大（小）值定義

①一般地，設函數 ( )y f x 的定義域為 I ，如果存在實數M

滿足：（1）對于任意的 x I ，都有 ( )f x M ；

（2）存在 0x I ，使得 0( )f x M ．那麼，我們稱M 是

函數 ( )f x 的最大值，記作 max ( )f x M ．

②一般地，設函數 ( )y f x 的定義域為 I ，如果存在實數m滿足：（1）對于任意的 x I ，

都有 ( )f x m ；（2）存在 0x I ，使得 0( )f x m ．那麼，我們稱m是函數 ( )f x 的

最小值，記作 max ( )f x m ．

y

xo

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【1.3.2】奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的

性 質定義 圖象 判定方法

函數的

奇偶性

如果對于函數 f(x)定義

域内任意一個 x，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那麼函數

f(x)叫做奇函數．．．．

（1）利用定義（要

先判斷定義域是否

關于原點對稱）

（2）利用圖象（圖

象關于原點對稱）

如果對于函數 f(x)定義

域内任意一個 x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．, 那 麼 函 數

f(x)叫做偶函數．．．．

（1）利用定義（要

先判斷定義域是否

關于原點對稱）

（2）利用圖象（圖

象關于 y 軸對稱）

②若函數 ( )f x 為奇函數，且在 0x  處有定義，則 (0) 0f  ．

③奇函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在 y 軸兩側相對稱的區間增減性相反．

④在公共定義域内，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），

兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）

是奇函數．

〖補充知識〗函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①确定函數的定義域； ②化解函數解析式；

③讨論函數的性質（奇偶性、單調性）； ④畫出函數的圖象．

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準确記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、幂函數、三角函

數等各種基本初等函數的圖象．

①平移變換

0,0, |( ) ( )

h hh hy f x y f x h   

左移 個單位右移| 個單位

0,0, |( ) ( )

k kk ky f x y f x k   

上移 個單位下移| 個單位

②伸縮變換

0 1,1,( ) ( )y f x y f x

    

伸縮

0 1,1,( ) ( )AAy f x y Af x   

縮伸

③對稱變換

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( ) ( )xy f x y f x   軸 ( ) ( )yy f x y f x   軸

( ) ( )y f x y f x    原點 1( ) ( )y xy f x y f x  直線

( ) (| |)yy yy f x y f x  去掉 軸左邊圖象

保留 軸右邊圖象，并作其關于 軸對稱圖象

( ) | ( ) |xxy f x y f x  保留 軸上方圖象

将 軸下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分别範圍、變化趨勢、對稱性等方面研

究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．

（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了"形"的直觀性，它是

探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．

第二章 基本初等函數(Ⅰ)

〖2.1〗指數函數

【2.1.1】指數與指數幂的運算

（1）根式的概念

①如果 , , , 1nx a a R x R n    ，且 n N ，那麼 x叫做a的 n次方根．當 n是奇

數時，a的 n次方根用符号 n a表示；當 n是偶數時，正數a的正的 n次方根用符号 n a

表示，負的 n次方根用符号 n a 表示；0 的n次方根是 0；負數 a沒有 n次方根．

②式子 n a叫做根式，這裡n叫做根指數，a叫做被開方數．當 n為奇數時，a為任

意實數；當n為偶數時， 0a  ．

③根式的性質： ( )nn a a ；當 n 為奇數時， n na a ；當 n 為偶數時，

( 0)| |

( 0) n n a aa a

a a

   ．

（2）分數指數幂的概念

①正數的正分數指數幂的意義是： ( 0, , ,m

n mna a a m n N    且 1)n  ．0 的正分數指數幂等于 0．

②正數的負分數指數幂的意義是： 1 1( ) ( ) ( 0, , ,m m

mn n na a m n Na a



    且

1)n  ．0 的負分數指數幂沒有意義． 注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．

（3）分數指數幂的運算性質

① ( 0, , )r s r sa a a a r s R    ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R  

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③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R   

【2.1.2】指數函數及其性質

（4）指數函數

函數名稱 指數函數

定義 函數 ( 0xy a a  且 1)a  叫做指數函數

圖象

1a  0 1a 

定義域 R

值域 (0, )

過定點 圖象過定點 (0,1) ，即當 0x  時， 1y  ．

奇偶性 非奇非偶

單調性 在R上是增函數 在 R上是減函數

函數值的

變化情況

1 ( 0)

1 ( 0)

1 ( 0)

x

x

x

a x

a x

a x

 

 

 

1 ( 0)

1 ( 0)

1 ( 0)

x

x

x

a x

a x

a x

 

 

 

a變化對圖象的影響 在第一象限内， a越大圖象越高；在第二象限内， a越大圖象越低．

〖2.2〗對數函數

【2.2.1】對數與對數運算

（1）對數的定義

①若 ( 0, 1)xa N a a  且 ，則 x叫做以 a為底N 的對數，記作 logax N ，其中 a叫

做底數， N 叫做真數．②負數和零沒有對數．

③對數式與指數式的互化： log ( 0, 1, 0)xax N a N a a N      ．

（2）幾個重要的對數恒等式

log 1 0a  ， log 1a a  ， logb

a a b ．

01

xay 

x

y

(0,1)

O

1y 

01

xay 

x

y

(0,1)

O

1y 

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（3）常用對數與自然對數

常用對數： lg N ，即 10log N；自然對數： lnN ，即 loge N （其中 2.71828e  …）．

（4）對數的運算性質 如果 0, 1, 0, 0a a M N    ，那麼

①加法： log log log ( )a a aM N MN  ②減法： log log loga a aMM NN

 

③數乘： log log ( )na an M M n R  ④loga Na N

⑤ log log ( 0, )b n aanM M b n Rb

   ⑥ 換 底 公 式 ：

loglog ( 0, 1)log

ba

b

NN b ba

  且

【2.2.2】對數函數及其性質

（5）對數函數

函數

名稱對數函數

定義 函數 log ( 0ay x a  且 1)a  叫做對數函數

圖象

1a  0 1a 

定義域 (0, )

值域 R

過定點 圖象過定點 (1,0) ，即當 1x  時， 0y  ．

奇偶性 非奇非偶

單調性 在 (0, ) 上是增函數 在 (0, ) 上是減函數

函數值的

變化情況

log 0 ( 1)

log 0 ( 1)

log 0 (0 1)

a

a

a

x x

x x

x x

 

 

  

log 0 ( 1)

log 0 ( 1)

log 0 (0 1)

a

a

a

x x

x x

x x

 

 

  

a變化對圖象的影響 在第一象限内， a越大圖象越靠低；在第四象限内， a越大圖象越靠高．

01

x

y

O(1,0)

1x logay x

01

x

y

O (1,0)

1x logay x

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(6)反函數的概念

設函數 ( )y f x 的定義域為 A，值域為C，從式子 ( )y f x 中解出 x，得式子

( )x y ．如果對于 y在C中的任何一個值，通過式子 ( )x y ， x在 A中都有唯一确

定的值和它對應，那麼式子 ( )x y 表示 x 是 y 的函數，函數 ( )x y 叫做函數

( )y f x 的反函數，記作 1( )x f y ，習慣上改寫成 1( )y f x ．

（7）反函數的求法

①确定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式 ( )y f x 中反解出 1( )x f y ；

③将1( )x f y 改寫成 1( )y f x ，并注明反函數的定義域．

（8）反函數的性質

①原函數 ( )y f x 與反函數 1( )y f x 的圖象關于直線 y x 對稱．

②函數 ( )y f x 的定義域、值域分别是其反函數 1( )y f x 的值域、定義域．

③若 ( , )P a b 在原函數 ( )y f x 的圖象上，則 ' ( , )P b a 在反函數 1( )y f x 的圖象

上．

④一般地，函數 ( )y f x 要有反函數則它必須為單調函數．

〖2.3〗幂函數

（1）幂函數的定義

一般地，函數 y x 叫做幂函數，其中 x為自變量， 是常數．

（2）幂函數的圖象

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（3）幂函數的性質

①圖象分布：幂函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．幂函數是偶函數時，

圖象分布在第一、二象限(圖象關于 y 軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象隻分布在第一象限．

②過定點：所有的幂函數在 (0, ) 都有定義，并且圖象都通過點 (1,1) ．

③單調性：如果 0  ，則幂函數的圖象過原點，并且在[0, ) 上為增函數．如果 0  ，

則幂函數的圖象在 (0, ) 上為減函數，在第一象限内，圖象無限接近 x軸與 y 軸．

④奇偶性：當 為奇數時，幂函數為奇函數，當 為偶數時，幂函數為偶函數．當 qp

  （其

中 ,p q互質， p和 q Z ），若 p為奇數 q為奇數時，則qpy x 是奇函數，若 p為奇數 q為

偶數時，則

qpy x 是偶函數，若 p為偶數 q為奇數時，則

qpy x 是非奇非偶函數．

⑤圖象特征：幂函數 , (0, )y x x   ，當 1  時，若0 1x  ，其圖象在直線 y x 下

方，若 1x  ，其圖象在直線 y x 上方，當 1  時，若0 1x  ，其圖象在直線 y x 上

方，若 1x  ，其圖象在直線 y x 下方．

〖補充知識〗二次函數

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（1）二次函數解析式的三種形式

①一般式：2( ) ( 0)f x ax bx c a    ②頂點式： 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ③兩根式：

1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    （2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐标時，宜用一般式．

②已知抛物線的頂點坐标或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．

③若已知抛物線與 x軸有兩個交點，且橫線坐标已知時，選用兩根式求 ( )f x 更方

便．

（3）二次函數圖象的性質

①二次函數 2( ) ( 0)f x ax bx c a    的圖象是一條抛物線，對稱軸方程為 ,2bxa

  頂點

坐标是24( , )

2 4b ac ba a

 ．

②當 0a  時，抛物線開口向上，函數在 ( , ]2ba

  上遞減，在[ , )2ba

  上遞增，當

2bxa

  時，2

min4( )

4ac bf xa

 ；當 0a  時，抛物線開口向下，函數在 ( , ]2ba

  上遞

增，在[ , )2ba

  上遞減，當2bxa

  時，2

max4( )

4ac bf xa

 ．

③二次函數2( ) ( 0)f x ax bx c a    當 2 4 0b ac    時，圖象與 x軸有兩個交點

1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x

a

   ．

（4）一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要内容，這部分知識在初中代數中雖有所

涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判别式和根與系數關系

定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程

實根的分布．

設一元二次方程2 0( 0)ax bx c a    的兩實根為 1 2,x x ，且 1 2x x ．令

2( )f x ax bx c   ，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a ②對稱軸位置：

2bxa

  ③判别式： ④端點函數值符号．

①k＜x1≤x2 

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x

y

1x 2x

0a

O



abx2



0)( kf

k x

y

1x 2xO



abx2



k

0a0)( kf

②x1≤x2＜k 

x

y

1x2x

0a

O



abx2



k

0)( kf

x

y

1x 2xO



abx2



k

0a 0)( kf

③x1＜k＜x2  af(k)＜0

0)( kf

x

y

1x 2x

0a

O



kx

y

1x 2xO



k

0a

0)( kf

④k1＜x1≤x2＜k2 

x

y

1x 2x

0a

O



1k 2k

0)( 1 kf 0)( 2 kf

abx2



x

y

1x 2xO

0a

1k



2k

0)( 1 kf 0)( 2 kf

abx

2

⑤有且僅有一個根 x1（或 x2）滿足 k1＜x1（或 x2）＜k2  f(k1)f(k2) 0，并同時考慮 f(k1)=0 或 f(k2)=0 這兩種情況是否也符合

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x

y

1x2x

0a

O





1k2k

0)( 1 kf

0)( 2 kf

x

y

1x 2xO



0a

1k



2k

0)( 1 kf

0)( 2 kf

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結論可直接由⑤推出．

（5）二次函數 2( ) ( 0)f x ax bx c a    在閉區間[ , ]p q 上的最值

設 ( )f x 在區間[ , ]p q 上的最大值為M ，最小值為m，令 01 ( )2

x p q  ．

（Ⅰ）當 0a  時（開口向上）

①若2b pa

  ，則 ( )m f p ②若2bp qa

   ，則 ( )2bm fa

  ③若2b qa

  ，

則 ( )m f q

①若 02b xa

  ，則 ( )M f q ② 02b xa

  ，則 ( )M f p

(Ⅱ)當 0a  時(開口向下)

①若2b pa

  ，則 ( )M f p ②若2bp qa

   ，則 ( )2bM fa

  ③若2b qa

  ，

則 ( )M f q

x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



x

y0a

O

abx2



p q

f(p)

f(q)

( )2bfa



x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



0x

x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



0x

x

y0a

O

bx 

pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



x

y0a

O

bx 

pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



高中數學輔導知識點歸納，高中數學輔導就找耿保陽老師

①若 02b xa

  ，則 ( )m f q ② 02b xa

  ，則 ( )m f p ．

第三章 函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數 ))(( Dxxfy  ，把使 0)( xf 成立的實數 x叫做函數 ))(( Dxxfy  的零點。2、函數零點的意義：函數 )(xfy  的零點就是方程 0)( xf 實數根，亦即函數

)(xfy  的圖象與 x軸交點的橫坐标。即：方程 0)( xf 有實數根 函數 )(xfy  的圖象與 x軸有交點 函數 )(xfy 有零點．

3、函數零點的求法：

求函數 )(xfy  的零點：

○1 （代數法）求方程 0)( xf 的實數根；

○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以将它與函數 )(xfy  的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．

4、二次函數的零點：

二次函數 )0(2  acbxaxy ．１）△＞０，方程 02  cbxax 有兩不等實根，二次函數的圖象與 x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

２）△＝０，方程 02  cbxax 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

３）△＜０，方程 02  cbxax 無實根，二次函數的圖象與 x軸無交點，二次函數無零

點．

x

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



0xx

y0a

O

abx2



pq

f(p)

f(q)

( )2bfa



0x

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