今天是概率統計專題的第5篇文章，這篇文章的出現意味着高等數學專題我們已經告一段落了。高數當中剩下的内容還有很多，比如多重積分、微分方程求解等等内容。但對于算法領域來說，基本的微積分已經基本足夠了，所以我們就不再繼續往下延伸，如果以後有相關的内容涉及，我們再來開文章單講。

我們這篇文章的内容關于統計學中的泊松分布。

舉個栗子

泊松分布在概率統計當中非常重要，可以很方便地用來計算一些比較難以計算的概率。很多書上會說，泊松分布的本質還是二項分布，泊松分布隻是用來簡化二項分布計算的。從概念上來說，這的确是對的，但是對于我們初學者，很難完全理解到其中的精髓。

所以讓我們來舉個栗子，來通俗地理解一下。

假設我們有一顆栗子樹，有時候因為風或者是小動物活動的關系，樹上可能會掉下栗子來，樹上掉栗子顯然是一棵偶然事件，并且發生的概率很低，那麼我們怎麼求它的概率分布呢？泊松分布解決的就是這樣一個問題。

好像沒有一個模型可以直接來刻畫這個問題，必須要經過一些轉化。

其實我們可以将事件切分，将這個問題轉化成二項分布問題。

比如我們把一天的時間切分成了若幹份，這樣對于每一份時間來說，是否會有栗子掉下來，就是一個是否會發生的事件。于是這就成了一個二項分布問題。理論上來說不會有兩顆栗子掉下的時間完全一樣，所以隻要我們将時間切分得足夠細，就可以保證一段時間之中最多隻會掉下一個栗子（否則就不滿足二項分布）。

假設我們把一天的時間切分成了n份，我們想知道一天當中會有k個栗子掉下的概率，根據二項分布的公式，這個概率就是：

到這裡，我們往前邁出了堅實的一步，寫出了概率的表達式。

推導泊松分布

我們雖然有了式子，但是好像沒什麼用，因為我們隻知道p是單位時間内有栗子掉下的概率，我們怎麼知道這個概率是多大呢？難道還真的去測量嗎？

要解決這個問題，還得回到二項分布。我們可以利用二項分布求一下每天掉下栗子數量的期望，顯然對于每一個單位時間而言，發生栗子掉落的概率是p，所以整體的期望是：

我們令這個值是 λ，那麼根據這個式子，我們可以表達出p了。

我們把這個p的式子帶入原式，可以得到：

前面說了，為了滿足二項分布，我們需要讓單位時間盡量小，防止會有同一時刻掉下兩個栗子的情況發生。所以這個n應該越大越好，我們可以用上之前學過的極限，讓n趨向于無窮，所以這個問題就變成了一個求極限的問題。

我們來算一下這個極限：

我們把這個極限拆分開來看，其中：

所以，我們代入，可以得到：

這個就是泊松分布的概率密度函數了，也就是說在一天當中掉下k個例子的概率就是

也就是說泊松分布是我們将時間無限切分，然後套用二項分布利用數學極限推導出來的結果。本質上來說，它的内核仍然是二項分布。使用泊松分布的原因是，當n很大，p很小的時候，我們使用二項分布計算會非常困難，因為使用乘方計算出來的值會非常巨大，這個時候，我們使用泊松分布去逼近這個概率就很方便了。

結尾和升華

我們根據推導出來的結果，感覺隻要是n很大，并且p很小的場景都可以使用泊松分布。但是這畢竟隻是一個感性的認知，在統計學上對于這個問題也是有嚴謹定義的。我們來看一下嚴謹的使用條件的限制，大概是這麼三條。

1. 當我們将時間進行無線切分之後，在接近于0的時間段内事件發生的概率與時間成正比。
2. 在每一段無限小的時間段内，同一事件發生兩次的概率無限接近于0
3. 在不同的時間段内，事件是否發生互相獨立

最後，我們看一道書上的例題，實際感受一下泊松分布的應用。假設我們有一批零件，它的次品率是0.1%，也就是千分之一。請問我們生産一千個産品當中至少有兩件次品的概率？

這道題應該很簡單，要求兩件及以上次品的概率，我們隻需要計算出隻有零件和一件次品的概率，然後用1減去它們即可。我們首先根據n和p算出 λ：

我們帶入泊松分布的公式：

如果我們要用二項分布來計算，那麼就需要計算0.999的一千次方了，這顯然是非常複雜的，這也是泊松分布的意義。

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