作者 | 高湧泉（台灣大學物理系教授）

來源 |《形上集》

我在7月号專欄「形上集」中提到，對于物理（現象、理論)有敏銳的感受似乎不是成為稱職物理學家的必要條件，反而某些沒有深刻專業知識的外行人能夠具有這種感受。不過對于物理的認識若要提升至另一境界，不可思議的感受與洞見倒是不可或缺的。量子力學大師狄拉克有一些經典例子值得拿出來談。

狄拉克在科普雜志Scientific American1963年5月号發表了一篇文章《物理學家自然觀的演化》，裡面有句話常被引用：「一個方程式，與其能夠符合實驗，更重要的是要有美。」這句話颠覆了一般人對于科學的認知：科學追求的是真理，必須以實驗所呈現的事實為本。例如費曼在論及尋找物理新定律時，就曾強調無論你所猜測的定律有多麼美妙，隻要與實驗不符，這猜測就是錯的，就必須抛棄，也就是說，當美與真有沖突時，科學必須取真棄美。狄拉克當然不能否認實驗是科學的最終依據，但是他卻還是要把美放在實驗之上，顯然另有深意。

要理解狄拉克的名言，首先要追究的是，他所謂的美到底是怎麼回事，因為美與實驗相比，顯然更為主觀，更不易捉摸，如何可以用來區分方程式的高下？狄拉克在1956年訪問俄羅斯莫斯科大學，受邀留下一句贈言，于是他在黑闆上寫了「物理定律應該具有數學之美。」這句話比前述我引用的名言更明确地界定了他所謂的方程式之美，但還是不夠，因為數學之美依舊有些朦胧，例如畢氏定理是美或不美呢？終歸來說，美是一種感受，不适合當做劃分黑白的判準。

狄拉克在1963年的文章中舉了一個例子來支持他的論點，這是薛丁格告訴他的故事：薛丁格在發表他著名的(非相對論性)量子波方程式之前，其實曾先推得一個符合相對論性原理的方程，但是他發現從這個方程所解出的氫原子能譜與實驗不符，失望之下，薛丁格便攔下了這個方程，因而被他人搶先發表，以緻于我們今天稱這個相對論性方程式為「克萊恩一戈登(KG)方程」。狄拉克認為薛丁格不應過早遷就實驗，而放棄KG方程，因為KG方程的解涵蓋了薛丁格方程的解，在非相對論性的近似下，兩個方程的能譜是一樣的。

KG方程的缺點是它忽略了電子自旋的效應，但是薛丁格方程的缺點更大，因為它不僅沒包括自旋，連相對論性效應也忽略了。狄拉克認為KG方程是一個美麗的方程式，盡管不完全适用于描述電子，但仍然是非常有價值的進展(KG方程用來描述無自旋的介子)。

不過薛丁格方程式有一個很大的優點，那就是它在時間這個變數上是一階微分方程（即方程式隻涉及把波函數對時間取一次微分)；KG方程沒有這個優點，因為它是時間的二階微分方程。為什麼這是重要的事呢？因為時間的一次微分方程意味着，我們隻要知道某個時刻的波函數，就可以由一次微分推導出爾後任何時刻的波函數。(若是二次微分，我們還需額外知道某時刻波函數的一次時間微分才行。)量子力學就是建構在這樣的假設之上。

在薛丁格方程确立之後，多數人以為隻要加上自旋效應，KG方程即是電子遵循的相對論性方程式，例如波耳就這麼想。不過狄拉克、包利等少數幾人知道這是不足的。在這些人之中，隻有狄拉克一人認定量子力學的數學基礎很穩固(這是他自己幫忙建立起來的！)，所以相對論性電子方程一定是一階微分方程，他也因此尋得公認美麗的狄拉克方程式(參見上圖，其中的p₀、p，等都是一階微分算符，α、α，與β等是4×4矩陣。此方程自動将包括自旋在内，也預測了正子的存在。從狄拉克方程式的來曆看，我會說狄拉克認為的美包括理論架構的緊密度以及對稱性等要素。但這些要素也隻有在狄拉克手裡才能發揮功能。

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