第一單元 【大數的認識】

1、計數單位：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。

2、數位：個位、十位、百位、……億位等等，都是數位。數位名稱就是在相應的計數單位後添一個“位”字，如：萬à萬位。

3、數級：個級、萬級、億級……都是數級，一個數級包括四個數位。個級包括個位、十位、百位、千位；萬級包括萬位、十萬位、百萬位、千萬位；億級包括億位、十億位、百億位、千億位。

4、數位順序表：含有數級、數位和相應的計數單位的表格叫數位順序表，如下。

5、每相鄰兩個計數單位之間的進率都是“十”。

10個一萬是十萬，10個十萬是一百萬，10個一百萬是一千萬，10個一千萬是一億。

6、數字表示：某個數位上的數字表示幾個這個數位的計數單位。

如：12367 中的2在千位上，表示“2個千”

某個數級上的數字表示幾個這個數級的計數單位。

如：36472845中的3647在萬級上，表示“3647個萬”

7、大數的讀法：可以先分級，再讀數。

（1）含有兩級數的讀法：先讀萬級，再讀個級；

（2）含有三級數的讀法：先讀億級，再讀萬級，最後讀個級。每級末尾不論有幾個0，都不讀；每一級中間和前面有一個0，或連續幾個0，都隻讀一個0。

8、大數的寫法：可以先分級，再寫數。

（1）含有兩級數的寫法：先寫萬級，再寫個級；

（2）含有三級數的寫法：先寫億級，再寫萬級，最後寫個級。哪一位上一個計數單位也沒有，就在哪一位上寫0。

9、讀寫數檢驗方法：讀數和寫數可以互相檢驗，即讀數後再寫出來和原數比對，而寫數後可以自己讀出。

10、比較億以内數的大小：位數不同時，位數多的數大；位數相同時，從最高位比起，最高位上的數大，這個數就大；如果最高位上的數相同，就比較下一位，直到比較出大小為止

11、改寫成不同計數單位的數：

（1）整萬、整億的數：将個級的4個0改寫成“萬”，将萬級、個級共8個0改寫成“億”

注意：整萬、整億的數的改寫屬于準确數，要用“=”連接。

（2）非整萬的數改寫成以“萬”為單位的數：将萬位以後的數作為尾數，對尾數的最高位（千位）四舍五入，再改寫成以“萬”為單位的數。

（3）非整億的數改寫成以“億”為單位的數：将億位以後的數作為尾數，對尾數的最高位（千萬位）四舍五入，再改寫成以“億”為單位的數

12、省略尾數（求近似數）：先分級，再看省略的最高位上的數，用四舍五入法進一或舍去。省略億位後面的尾數時，要看千萬位，省略萬位後面的尾數時，要看千位。（用“≈”）0~4為“舍”，尾數清零且精确數位的數字不變，5~9為“入”，尾數清零且精确數位上的數字加1。注意：四舍五入後的結果是近似數，所以符号一定要用“≈”。

13、準确數和近似數的區分：

（1）在實際問題中，有些數據是與實際完全符合的準确數。如：四甲班有44個男同學，29個女同學。這裡的“44”“29”都是準确數。

（2）還有些數據，隻是與實際大體符合的近似數。我們在測定物體的長度、質量時，由于測量工具的限制，必然會産生誤差，所得的結果都是近似數。如：小明身高140厘米，體重35千克。這裡的“140”、“35”都是近似數。

（3）在對大的數目在進行統計時，一般也隻需要用它的近似數來表示。如：平常說一個城市有50萬人，一個鋼鐵廠去年産鋼120萬噸。這裡的“50萬”、“120萬”都是近似數。

“四舍五入”法：4、3、2、1、0舍去；5、6、7、8、9舍去後向前一位進1。

用“＝”和“≈”的區别：

7580000=758萬 7508000≈751萬

9000000000=90億 9420000000≈94億

14、自然數：表示物體個數的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……都是自然數。一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數。最小的自然數是0，沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。

15、十進制計數法：每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十，這種計數方法叫十進制計數法。

16、計算工具的認識：

古時：“實物”、“結繩”“刻道”等方法來記數的。

（1）算盤：14世紀，中國發明了算盤。算盤有上下兩檔，上檔每顆珠子代表5，下檔每顆珠子代表1，每根杆相當于一個數位，如“萬位上的一顆上珠”表示“5個萬”。

（2）計算器：CE或者AC是“清除鍵”，ON/C是“開關及清屏鍵”。OFF是關閉鍵。

17、會用計算器計算和探索規律。

第二單元 【公頃和平方千米】

計量較大的土地面積時，常用 “公頃”和“平方千米（km2）”作單位。

1公頃=10000平方米

1平方千米=100公頃

1平方千米=1000000平方米

第三單元 【角的度量】

1、線段：是直線的一部分，具有2個端點，可以度量長度，不可延長。

2、射線：是直線的一部分，隻有1個端點，可以向一端無限延長，不可度量。

3、直線：沒有端點（或者說“有0個端點”），可以向兩端無限延長，不可度量。

4、角：從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這一點叫做角的“頂點”，兩條射線叫做角的兩條“邊”。角的符号用“∠”表示。

5、過點畫直線的數量：

過一點可以畫無數條射線、無數條直線。

因為“兩點可以确定一條直線”，所以過兩點隻能畫出一條直線。

6、角的度量：工具是量角器。

角的計量單位是“度”，用符号“°”表示。把半圓分成180等份，每一份所對的角的大小是1度，記作1°。

步驟：

（1）（量角器的）中心點與（角的）頂點重合

（2）（量角器的其中一條）0刻度線與（角的）一條邊重合

（3）角的另一條邊所對應的量角器上的刻度就是這個角的度數

7、角的大小比較：角的大小與角的兩邊的長短沒有關系。角的大小要看兩條邊張開的大小，張開得越大，角越大。

8、會求一個已知角的餘角、補角和對頂角：

如右圖，若∠3=25°，則∠4=90°－25°=65°

若∠1=25°，則∠2=180°－25°=155°

若∠1=25°，則∠3=∠1=25°（對頂角相等）

9、角的分類：

（1）銳角＜90°；直角=90°； 90°＜鈍角＜180°；平角=180°；周角=360°

（2）1個平角=2個直角； 1個周角=2個平角=4個直角

10、鐘面時間問題（求時針與分針的夾角）：因為周角是360°，而鐘面上有12個整點刻度，所以每兩個整點刻度間的夾角是360°÷12=30°

11、畫角的方法：

A、用量角器畫角（如畫65°的角）

（1）畫一條射線，作為角的頂點和一條邊

（2）使量角器的中心和射線的端點重合，0刻度線和射線重合

（3）在量角器（與0刻度線同圈的）65°刻度線的地方點一個點

（4）以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線（因為“兩點确定一條直線”，用端點和剛畫的點來确定另外一條邊的位置）

（5）畫小弧線，标注

B、用三角闆畫角（如畫75°的角）

畫角方法和用量角器的相同，隻是标注方法不同，需要标出這個角是由哪幾個三角闆上的角組合（加或減）而成的。

用三角闆可畫出所有15°倍數的角，如75°、105°、120°、135°、150°、165°

而用“一副（兩個）三角闆”可“拼出”75°、105°、120°、135°、150°這幾個角

第四單元 【三位數乘兩位數】

1、兩位數乘一位數的口算乘法：（如16×3）把16分成10和6，先算10×3＝30，再6×3＝18，最後算30＋18＝48，所以16×3＝48。

2、三位數（末尾有0）乘一位數的口算乘法：（如160×3）把末尾0的部分先不看，看成16×3，口算出得48，再在得數的末尾添上所有去掉的0，160末尾有1個0，所以添上1個0得480，所以160×3＝480。

3、筆算乘法的方法：

先用兩位數個位上的數去乘三位數，得數的末位與兩位數的個位對齊；再用兩位數十位上的數去乘三位數，得數的末位與兩位數的十位對齊；最後把兩次乘得的積加起來。

如145×12=1740

4、末尾有0的筆算乘法：

（1）将0前面的數對齊，先把0前面的數相乘。

（2）再看因數末尾一共有幾個0，就在積的末尾添幾個0.

如160×30=4800

5、因數中間有0的乘法：注意用兩位數去乘三位數時，三位數中間的0也要乘，不要忘記加上進上來的數。

如 105×30=3150

6、積的變化規律和積不變的規律：

兩個數相乘，其中一個因數不變，另一個因數乘（或除以）幾（0除外），積也乘（或除以）幾。

兩個數相乘，其中一個因數乘幾（0除外），另一個因數除以幾（0除外），積不變。

7、乘法估算：

一要注意要符合實際情況，接近準确值。 215×58≈12000

二是要将其中一個因數或兩個因數“四舍五入”成相近的整十、整百數，簡化計算。

8、乘法驗算的方法：

交換因數的位置再乘一次，看乘得的積是不是跟原來的積相同。

9、常見的數量關系

單價×數量＝總價

總價÷數量＝單價

總價÷單價＝數量

單價單位：元 / 數量單位（複合單位）

每件28元表示為：28元/件每本5元表示為：5元/本

速度×時間＝路程

路程÷時間= 速度

路程÷速度= 時間

速度單位：路程單位 / 時間單位（複合單位）

如：每小時80千米表示為：80千米/時讀作：80千米每時。

工作效率×工作時間＝工作總量

工作總量÷工作時間＝工作效率

工作總量÷工作效率＝工作時間

例：小明的爸爸每分鐘能打50個字（工作效率），如果打6分鐘（工作時間），能打多少個字（工作總量）？

做應用題時應特别注意速度的單位，例如：王叔叔從縣城出發去120千米外的王莊鄉送化肥，用了2小時，問平均每小時行多少千米？

問題是“平均每小時行多少千米？”問的是速度，所以要知道路程和時間。

120 ÷ 2 ＝ 60 （千米/時）求的是速度，單位也要是速度！

9、“買N送一”問題的解決：

例：每棵樹苗16元，買3棵送1棵。一次買3棵，每棵便宜多少錢？

解決方法1：先算實際付的錢數： 16×3=48（元）

再算實際得到的棵數： 3＋1=4（棵）

接着算平均每棵實際付的錢數： 48÷4=12（元）

最後算每棵便宜的錢數： 16－12=4（元）

解決方法2：先算總共便宜的錢數： 16×1=16（元）

再算總共得到的棵數： 3＋1=4（棵）

最後算每棵平均便宜多少錢： 16÷4=4（元）

10、“夠不夠”問題的解決：

例1：一個計算器24元，李老師要買4個。他帶了100元，錢夠嗎？

24×4=96（元）

100元＞96 元

答：他帶的錢夠的。

計算過程除了應該算出共需多少錢 24×4=96（元）之外，還應當與帶來的錢數進行比較，即 100元＞96 元，可不用帶單位但要注意同樣單位的才能比較。

例2：小軍家距離學校420米，小軍上學時平均每分鐘走62米，6分鐘内他能走到學校嗎？

62×6=372（米） 372＜420

答：6分鐘内他不能走到學校。

*解決問題練習：

1、書包每隻零售25元，批發買4隻送一隻。按批發價平均每隻隻需多少錢？

2、小劉騎自行車的速度是225米/分，他想到7千米外的某地野餐，30分能騎到嗎？

3、校服秋裝每套58元，冬裝每套82元。四甲班共有學生30名，每人各訂一套秋裝和冬裝，共需多少錢？

4、汽車每時可行80千米，普通列車比汽車每時快26千米，普通列車30時可行多少路程？

5、周巷鎮中心小學四年級在校中餐生約有210人，按每生每餐200克米飯計算，那麼準備一期中餐（共25餐）約需多少千克大米？

6、雞場一周收雞蛋576千克，每18千克裝一箱，已經賣掉24箱。

（1）還剩多少千克？ （2）還剩幾箱？

7、小明服藥，一天2次，每次3片。一瓶藥裝有50片，可吃幾天？還剩幾片？

8、小邵帶500元去買《數學小靈通》，買了25套，還剩50元。每套價錢多少？

9、買4個排球需116元。照這樣計算。

（1）348元能買幾個？ （2）買10個排球要多少元？

（3）再買3個排球，共需多少錢？

10、小明原有30本書，他給小英4本書後，兩人的本書同樣多。小英原有幾本書？

11、小明原有40本書，小英原有30本書。小明給小英多少本書後，兩人同樣多？

12、小明和小英共有70本書，小明給小英3本書後，兩人就同樣多，原來各幾本？

第五單元 【平行四邊形和梯形】

1、同一平面内兩條直線的位置關系：相交和不相交兩種。

2、平行：在同一個平面内不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。

3、垂直：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

4、畫垂線的方法：邊線重合、平移到點、畫線标号。

5、點到直線的距離：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。垂直線段的長度叫距離。

6、平行線的畫法：一貼、二靠、三移、四畫。

7、平行線的性質：兩條平行線之間的距離處處相等。

這個性質可以用來證明長方形對邊相等且平行。

8、畫長方形和正方形時的要點：用垂直和平行的方法畫圖，注意标注：長方形要标出一組鄰邊的長度（長和寬），正方形要标出兩條邊長的長度，或者在旁邊寫出“長方形”、“正方形”。

9、平行四邊形和梯形的概念：兩組對邊分别平行的四邊形叫做平行四邊形；

隻有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

10、四邊形的特性：

四邊形具有“容易變形”的特性，具有“不穩定性”。應用：推拉門

把長方形拉成平行四邊形，周長不變，面積變小。

11、平行四邊形的底和高：從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。平行四邊形有無數條高，但是從一個頂點向對邊隻能畫一條高。畫高要用虛線。并做出垂足記号

12 、梯形的底、高和腰：從梯形上底上的一點到下底引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做梯形的高，梯形有無數條高。但是從底的一個頂點向另一個底隻能畫一條高。

梯形的底是固定的兩條邊——————上底和下底（互相平行的一組對邊分别叫做梯形的上底和下底）；不平行的一組對邊叫做梯形的腰。

特殊的梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。

13、集合圖：用集合圖來表示四邊形之間的關系

四邊形包括平行四邊形和梯形。長方形和正方形是特殊的平行四邊形。因為它們具有平行四邊形的特征。正方形又是特殊的長方形。

14、四邊形内角和：四邊形的内角和都是360°。

15、圖形的裁剪：

（1）平行四邊形：平行四邊形可以被裁剪成兩個完全相等的三角形、平行四邊形或和梯形

方法：先确定中心點，兩條對角線的交點就是中心點，然後畫一條通過中心點的虛線，這樣就一定能把這個平行四邊形平均分成兩個完全一樣的圖形。

（2）梯形：梯形可以被裁剪成兩個梯形、一個平行四邊形和一個三角形、兩個三角形

16、圖形的拼組（請自己畫畫看）：

（1）兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

（2）兩個完全一樣的平行四邊形可以拼成一個平行四邊形。

（3）兩個完全一樣的長方形可以拼成一個長方形。

（4）兩個完全一樣的正方形可以拼成一個長方形。

（5）兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。

（6）兩個完全一樣的直角梯形可以拼成一個長方形或平行四邊形。

17、對稱軸：

長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形隻有1條對稱軸。平行四邊形沒有對稱軸。

第六單元 【除數是兩位數的除法】

1、除法的意義：已知兩個因數的積和其中的一個因數，求另一個因數的運算.

2、在以下4種情況的時候需要用到除法：

（1）求總數中含有幾個每份的量. 如求180裡有幾個30——》180÷30

（2）已知一個數的幾倍是多少,求這個數. 一個數的3倍是270,求這個數?—》270÷3

（3）求一個數是另一個數的幾倍.如求160是40的幾倍——》160÷40

（4）求将總數平均分成幾份.如求把240平均分成6份，每份是多少——》240÷6

3、除法中的數量關系（有餘數的除法）：

被除數÷除數＝商……餘數被除數＝商×除數＋餘數(驗算的方法)

除數＝（被除數－餘數）÷商商＝（被除數－餘數）÷除數

餘數＝被除數－除數×商

4、口算除法：整十數除整十數或幾百幾十數的口算,可以想乘法算除法,也可以先去掉被除數和除數末尾相同個數的0,再計算.（如160÷20=）

①想:20×8=160,所以160÷20=8.

②把160和20末尾的0各去掉一個，相當于算16÷2=8，所以160÷20=8.理由見“商不變規律”

5、“除以”和“除”的不同：讀法、意思有不同，常作為考點

例:120除以30，列式為：120÷30=4 20除130，列式為：130÷20=6……10

6、除法估算的方法：根據被除數和除數的特點，先把不是整十數或幾百幾十的數看成與它接近的整十數或幾百幾十數，再計算。

例如

7、除數是整十數的筆算除法分為五步：一看，确定商的位置；二試，确定首先商幾；三乘減，把商和除數乘起來再用被除數來減乘積；四比，比除數和餘數的大小，餘數一定要比除數小；五落，把被除數的個位落下來。

8、除數接近整十數的除法，一般按“四舍五入”法把除數看作和它接近的整十數來試商。用四舍法試商，商容易偏大，要把商調小；用五入法試商，商容易偏小，要把商調大。

9、除數不接近整十數的除法，既可以按照四舍五入法試商，也可以采取把除數看作和它接近的幾十五的方法來試商。

10、試商兒歌：

一二丢，八九收

四六當五來動手

四舍商大減去一，

五入商小加一好

同頭無除商八九

除數折半商四五

11、除數是兩位數的除法的計算方法：

（1）從被除數的高位除起，先用除數試除被除數的前兩位，如果它比除數小，再試被除數的前三位；

（2）除到被除數的哪一位，就把商寫在那一位上面；

（3）每次除後餘下的數必須比除數小。

最後根據豎式補充完橫式，注意要寫餘數。

12、直接判斷商是幾位數的方法：

三位數除以兩位數，比較被除數的前兩位與除數的大小，除數大商就是一位數，除數小商就是兩位數。

典型考題：□38÷53，要使商是一位數/兩位數，□可以填幾？

13、商的變化規律：

（1）在除法算式中，除數不變，被除數乘以（或除以）幾（0除外），商也要乘（或除以）幾。

（2）在除法算式中，被除數不變，除數乘以（或除以）幾（0除外），商反而要除以（或乘以）幾。

（3）在除法算式中，被除數和除數同時乘以（或除以）相同的數（0除外），商不變。這叫做“商不變規律”（或商不變性質）。

簡便記法：“被除數不變時，除數和商是反向變化的，其餘都是同向變化的”

14、運用商不變規律簡化豎式：

當被除數和除數末尾都有0時，可以運用商不變規律簡化豎式，在被除數和除數末尾劃掉相同個數的0，按照劃掉0後的豎式進行計算，得出的餘數如果不是0，還要再添上0，原來各去掉幾個就添上幾個

先将除數看成近似的整十數，再将被除數看成除數估成的整十數的倍數，以此估算出商。

15、筆算除法驗算的方法：

筆算除法的驗算一定要用乘法，不可用除法驗算！

用除數與商相乘，再加上餘數，看是否等于被除數。

16、解決問題應當注意的要點：

（1）常考的數量關系

單價×數量＝總價速度×時間＝路程工作效率×工作時間＝工作總量

總價÷數量＝單價路程÷時間＝速度工作總量÷工作時間＝工作效率

總價÷單價＝數量路程÷速度＝時間工作總量÷工作效率＝工作時間

其中速度單位是常考點，如：

叔叔開車從A地送貨到B地，去時每小時行60千米，用了5小時，回來時少用了2小時，回來時的平均速度是多少？

解決方法：①求回來的平均速度，速度＝路程÷時間

先算出兩地路程，也就是去時的路程，同時也是回來時的路程

60×5＝300（千米）

再算出回來時的時間：5－2＝3（小時）

最後算出回來時的速度，注意速度單位： 300÷3＝100（千米/時）

（2）倍數問題的技巧

例題：4箱蜜蜂一年可以釀300千克蜂蜜。小林家養了這樣的蜜蜂12箱，一年可以釀多少千克蜂蜜？

解法一：可以先算出每一箱蜜蜂一年可以釀多少蜂蜜

（即求出1倍的量300÷4＝75（千克）

再算12箱蜜蜂一年可以釀多少蜂蜜 75×12＝900（千克）

解法二：也可以算12箱是4箱的幾倍 12÷4＝3 倍數作為單位不用寫出來

再算出同樣時間内蜜蜂能釀出的蜂蜜 300×3＝900（千克）

（3）最優方案（用同樣的錢買最多的商品）課本80頁第19題

解決方法：先看哪種方案更優，盡量使用這種方案來買，最後如果有剩餘再考慮其他方案

例題：商場賣襯衫，一件29元，兩件49元，老師有185元，最多可以買多少件？還剩幾元？

解決方法：比較兩種方案，“兩件49元”的更便宜（一件隻要不到25元），所以先盡量用“兩件49”的方法買，可以買3套（共6件），算式為185÷49＝3（套）……38（元），2×3＝6（件），發現最後的餘數還可以買一件29元的，38－29＝9（元），6＋1＝7（件）。所以最後可以買到7件，剩餘9元。

第七單元 【統計】

統計表和條形統計圖都可以清楚地表示出數量的多少，但條形統計圖比統計表更形象直觀。更能看出數據之間的關系。

1、條形統計圖常用1格代表2個單位，有時還要用半格來代表1個單位。如果要表示的數據比較大，可以用一格代表5個單位或更多的單位，一個代表幾個單位，要根據具體情況來确定，這樣比較方便。

2、由統計表畫統計圖的步驟和注意要點：

（1）觀察表中項目，确定數據項（一般為數量）和類别項（小組名稱、年份、時間等）

（2）确定橫縱軸、刻度以及圖的類型（橫向或縱向）。

（3）畫條形，标數據，注意條形的高度要符合刻度，縱向統計圖的順序是從左往右，橫向統計圖的順序是從下往上。

（4）添上圖例，根據圖例補充完條形的條紋以示區别。

（5）标上标題。

（6）檢查要素是否齊全。

3、學會統計圖中提取信息，發現問題，進行合理的判斷、預測和決策，并能解決生活中的簡單問題。

第八單元 【數學廣角】

1、解決合理安排時間問題需要按以下步驟進行：

（1）明确完成一項工作要做哪些事情。

（2）知道每項事情各需要多長時間。

（3）明确先做什麼，後做什麼，哪些事情可以同時做就盡量同時做，這樣最省時間。

2、烙餅問題的解決：

在每次隻能烙兩張餅，兩面都要烙的情況下：

①烙3張餅：先烙1，2号餅的正面，接着烙1号餅的反面和3号餅的正面，最後烙2，3号餅的反面。

②烙多張餅：如果要烙的餅的張數是雙數，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數是單數，可以先2個2個的烙，最後3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。

一般的解決方法：

公式：烙餅所需的最短時間＝烙餅張數×烙每面餅所需的時間(烙一張除外)

例如烙5張餅的時間，每面要烙3分鐘， 5×3＝15（分）

烙8張餅的時間，每面要烙3分鐘， 8×3＝24（分）

3、田忌賽馬（對策論）：解決同一問題可以用不同的策略，要學會尋找最優方案。在與對方比賽時，要選擇一個利多弊少的最優策略，從而獲得勝利。

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