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與抛物線有關的最值問題高考

教育更新时间:2024-07-30 01:12:37

圓錐曲線，是由一平面截二次錐面得到的曲線，包括橢圓（圓為橢圓的特例）、抛物線、雙曲線。抛物線是初中高中階段重要的一個知識點，高中主要是增加了焦點、準線還有定義，這也提示我們這将是它的一個重點，所以在學習的時候要多多理會它的含義，并能夠靈活運用．

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）1

直線與圓錐曲線的位置關系是平面解析幾何的重要内容之一，也是高考的熱點，反複考查。

今天我們就2019年全國卷1（理科）第19題，一起探究一下直線與抛物線相關的弦長問題中需要同學們重點理解以及記憶的幾個内容，包括韋達定理、抛物線定義推論以及弦長公式。

試題再現

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）2

分析

先設點P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2)

（1）根據韋達定理以及抛物線定義，可求得直線l的方程。

（2）由向量關系得到t-x1=3(x2-t)，結合韋達定理求得t、x1、x2的值，利用弦長定理可得|AB|的值。

解答

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）3

在求解抛物線弦長問題時，先設點坐标，寫出直線方程，再将其代入抛物線方程中，根據題目需要消去x或y，得到關于y或x的一元二次方程，這個方程必有兩根，這時可以利用韋達定理求出兩根的和及乘積，以供後續使用。

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）4

韋達定理

（1）

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）5

抛物線是指平面内到一個定點F（焦點）和一條定直線l（準線）距離相等的點的軌迹。

當抛物線開口向右時，有|AF| |BF|=x1 x2 p：

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）6

|AF| |BF|=x1 x2 p

同理：

當抛物線開口向左時，有|AF| |BF|=-x1-x2 p；

當抛物線開口向上時，有|AF| |BF|=y1 y2 p；

當抛物線開口向右時，有|AF| |BF|=-y1-y2 p。

(2)

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）7

已知直線的斜率，以及弦|AB|兩端點的橫坐标或縱坐标，求弦長時，最快方式是使用弦長公式。

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）8

弦長公式

該公式由兩點間距離公式推導而來：

與抛物線有關的最值問題高考（高考高頻考點三個重要公式）9

弦長公式不僅可在抛物線弦長問題中使用，任何時候，隻要知道線段兩端點橫坐标/縱坐标以及斜率時均可使用，也算是萬能公式了。

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