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筆記-數學運算常考題型-容斥問題

圖文更新时间:2024-10-11 15:12:46

容斥原理專門用于處理有“重疊”的計數問題，他的核心就是剔除重疊。解這類題目需要掌握容斥原理的核心考點，學會畫文氏圖，準确計算。

1.兩集合容斥

所謂集合，就是具有某種相同屬性的元素構成的整體，如把喜歡踢足球的人歸為一個集合，可以表述為“喜歡踢足球的人”。每一個集合，可以畫一個圓圈來表示，這就是“文氏圖”。

兩個集合的容斥原理内容如下圖所示：

筆記-數學運算常考題型-容斥問題（筆記-數學運算常考題型-容斥問題）1

A∪B,讀作“A并B”,表示或者屬于A或者屬于B的所有元素組成的集合。

A∩B，讀作“A交B”,表示A與B共同的元素組成的集合。

2.三集合容斥三集合的容斥原理内容如下圖所示:

筆記-數學運算常考題型-容斥問題（筆記-數學運算常考題型-容斥問題）2

從上圖可直觀看出，總數被分成了七塊，三塊空白的“隻屬于其中某一個集合”、中間黑色的“屬于三個集合”、三塊灰色的“隻屬于其中某兩個集合”。

于是又可以得到以下兩個常用結論：

總數＝隻屬于其中一個集合隻屬于其中兩個集合的屬于三個集合的

總數＝三個集合之和-隻屬于其中兩個集合的-2x屬于三個集合的

3.多集合容斥極值求N個集合公共部分的最小值時，可利用如下公式求解：

A∩B數量的最小值＝A B-I

A∩B∩C數量的最小值＝A B C-2I

A∩B∩C∩D數量的最小值＝A B C D-3I

注：I表示全體集合，多個集合的最小值可以此類推，依照上面公式進行計算。

在解決容斥問題時，往往需要通過畫文氏圖來梳理各集合間的關系，畫文氏圖時可直接将各數據标注到相應區域中。

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