幾何原理和平行假設

大約2300年前，在埃及的亞曆山大城，歐幾裡得寫了《幾何原理》，這是幾何學中一系列涉及各種主題的定理和證明。 《幾何原理》的48個已被證明的定理是基于歐幾裡得在開始工作時列出的5個公理、23個定義和5個常見概念。 這些定義涵蓋了理解其餘工作所需的詞彙表。 常見的概念是代數等價，如交換性(a b=b a)和傳遞性(如果a=b和b=c，那麼a=c)。 這5個公理是構成邏輯系統主幹的未經證明的陳述。 在這5個公理中，有4個比較直觀，

即：

• 兩點之間可以畫一條直線，
• 線段可以定義一條直線，
• 圓心和半徑可以定義圓，
• 所有的直角都是全等的，

然而，第五個也是最後一個假設稱為平行公設 就不那麼明顯了。 是最常見的說法,“如果一條直線落在兩條直線同側上的内角不到兩個直角的總和,那麼那兩條直線,如果無限期地延長,這兩條直線将在小于兩個直角和這側相交。” 在下圖中，這可以解釋為，如果α β<180，則這兩條線将在下圖右邊相交。

有許多命題與平行公設 是等價的。 其中一個很常見的說法就是公平公理。 這個公理指出，給定一條直線l和一條不在直線上的點P，存在一條通過該點的唯一直線，與該線平行。 我們可以通過假設平行公設為真來證明這一等價性，并用它來證明公平公理，反之亦然。 根據平行公設,我們可以構造一個獨特的通過P點平行于l的直線，然後再通過P點畫一條垂直于l 的直線。這必須是獨一無二的,因為過P點的其它線其他線會形成一個角不等于90度, 根據平行公設從而将與l相交。 接下來，根據公平公理，我們可以非常類似地證明平行假設。 除了公平定理保證的那條過P 的平行線外，任何其它一條線(如圖中的綠線)的垂線一側的角度之和必須小于180度，并且一定和l相交，因為它不是一條平行線。

由于它比其他公理要複雜得多，所以最後的公設必須加以仔細研究。 在17和18世紀，數學家開始質疑這個公理的正确性，通常被稱為第五或平行公設。 在這個問題上最著名的著作之一是1733年由一個叫吉羅拉莫·薩切裡的人出版的《歐幾裡得的一切》。 薩切裡用反證法證明了平行公設的矛盾。 不幸的是，他的寫作依賴于一些未闡明的假設。 薩奇裡是一位著名的邏輯學家和校對員，所以這些錯誤并不典型。 因此，人們推測薩奇裡知道自己的錯誤，也知道非歐幾裡得幾何的可能性，但可能不願受到教會的譴責，因為當時教會對維持現狀的态度非常強硬，即使是在數學和科學領域。 他的著作提出了一種觀點，即平行假設為假的幾何是如何存在的。 薩奇裡構造了一個底部有兩個直角的四邊形。 對于他的反證法，他假設另外兩個角(頂角)的和不是180度。

在歐幾裡得平面，三角形内角和是180度，但在非歐幾何可能是小于180度或大于180度。接下來我們說明不同的幾何空間。

雙曲幾何

薩奇裡的圖留下了兩種矛盾的可能性。 兩個頂角之和，要麼大于180，要麼小于180。 這種幾何結構是通過修改最終假設而形成的，即通過與另一條直線以外的一點，至少有兩條不同的直線與其平行。 對于這兩條不同的直線，它們之間的所有直線都是平行的，所以有無數條不同的平行線。 這是一個馬鞍形的幾何圖形(就像品客薯片一樣)，因為這允許直線以修改後的假設所規定的方式相交。 這種幾何結構叫做雙曲幾何(盡管它與圓錐截面沒有直接關系)，而幾何結構的表面叫做雙曲平面。

雙曲幾何仍然滿足前四個歐幾裡得定理:兩點定義一條線段，線段定義一條線，圓由圓心和半徑定義，所有的直角相等。 這些假設的表達可能與我們預期的略有不同，就像圓和線在雙曲幾何中顯現的不同一樣。

一個對雙曲幾何非常有用的模型是彭卡萊（Poincaré）圓盤。 這是雙曲平面在單位圓上的投影。 直線被定義為與圓盤的邊正交并相交于直角的圓。 當一個人接近圓盤的邊緣時，距離會縮小，所以靠近投影中心的物體看起來比靠近邊緣的物體大。 由于距離不斷縮小，邊緣上的點可以想象為離中心無限遠的點。 我們可以證明這個模型滿足雙曲幾何的第五個假設:給定一條直線和一條不在直線上的點，我們可以畫出多條平行線，如下圖所示。

雙曲幾何中的三角形有一些有趣的性質。 和歐幾裡得幾何一樣，三角形是由三個點定義的。 然而，在雙曲幾何中，角的和總是小于π，這可以通過将薩奇裡四邊形分成兩部分來推斷。 在薩奇裡四邊形中，根據定義，角的和小于2π。 因此，一個直角三角形，将四邊形分成兩部分後，其内角之和一定小于π。 下面的圖形中的三角形都是等邊的，但在曲面上的中心有7個經過點P的全等三角形，顯然三角形的内角和不是180度。

三角形也可以用無窮遠處的點或龐加萊（Poincaré）圓盤的邊緣形成。 在這種情況下，這兩條線被稱為極限平行線，因為它們從不相交，但彼此無限接近。 一個有三個理想頂點的三角形的内角和為0。 下面顯示了龐加萊圓盤（Poincaré Disk）上的一個示例。 在雙曲幾何中，三角形的面積與角度差成正比，角度差即三個内角和與π的差。 在雙曲幾何中有一個很重要的結論:單位圓的一個角為A、B、C的三角形的面積S=π - A - B - C。

因為A B C=π-S，所以雙曲面上的三角形内角和小于180度。

這個定理提供了一些很好的推論，包括π三角形面積的上界，π三角形有三個極限頂點。 下圖提供了一個三角形的頂點在無限位置的例子，顯然内角和小于180度。

球面幾何

回到薩奇裡四邊形，還有另一種非歐幾裡得的情況，因為頂點角的和可以大于180度。 這叫做球面幾何。 顧名思義，它是球面上的幾何圖形。 既然線是兩點之間最短的距離，在球面幾何中，線就是大圓，或者說是球面和通過球面中心的平面的交點。 當歐幾裡得定理得到驗證時，問題就出現了。 在一個球體上，有多條線穿過兩個對跖點。 為了解決這個問題，球面幾何中的點通常定義為球面上的兩個對跖點。 現在，兩個點，或者說對映點的集合，定義了一條直線。 當提到“點”時，假設引用了一組對跖點。下圖的U,V兩點就是一組對跖點（即直徑的對點）。

任何兩條線或大圓都必須相交。 大圓是平面與球體的交點，通過圓心。 因此，包含每一個大圓的平面必須在原點相交。 兩個平面不能相交于一點，它們必須相交于一條直線。 這條線與球面相交的地方在兩個大圓上，所以這兩條線一定相交。 球面幾何中沒有平行線。

球面幾何有一種特殊的形狀，叫做月牙。 它由兩條線組成。 這兩條線相交于一個對映點集。 我們可以通過考慮以弧度為單位的兩條線之間的角度α來計算月牙的面積。 月亮的面積是α/2π(4πr2)，因為α/2π是被覆蓋的球體的分數，而4πr2是球體的表面積。 假設是單位球時，月牙面積簡化為2α。 月牙的圖形如下：

在球面幾何中，選擇任意三個點可以形成三角形。 連接這些點的三個大圓或線構成了8個三角形; 我們可以選擇使用哪個對映點。 所以，這三個點并不是唯一的三角形。8個三角形是包括三邊出去又三個，三個頂點出去有三個，兩外三角形ABC和其相對的另一面的對等的三角形A’B’C’, 見下圖。

由上圖可以看到，從A點出發與AB和AC會形成兩個月牙，根據前面的結論，每個月牙面積在單位球中為2a, 如果我們考慮由同樣的線條組成的相對的另一個月面，它也有面積2a，那麼A點的兩個月牙面積為4a, 同理從B和C點出發的月牙面積分别是4b, 4c, (a, b, c是弧度角) 。這三個月面加在一起，覆蓋了球體加上兩個三角形ABC以及兩個三角形A ' B ' C '，（即對跖三角形）。 如果讓三角形的面積為X，

4a 4 b 4 c = 4π 4 X，

a b c=X π >π

在這個幾何中，三角形的内角和嚴格大于180度，其上限接近540度。 我們可以看到，它的上限一定是540，因為一個凸三角形不可能占據大半個球面，所以它的面積一定小于2π。 用面積公式，a b c一定小于3π。

球面幾何在導航和航行中非常有用，因為我們生活在一個球體上。 它最初是由希臘人研究的，在2000多年前托勒密發現地球是圓的之後。 這種幾何學被認為是完全獨立于歐幾裡得的幾何學，因此是不矛盾的。 最近，航空公司使用球面幾何來确定飛行路徑，因為穿過大圓的路徑最短，效率最高。 這就是為什麼從舊金山到迪拜要飛越北極的原因，關于大圓之間是最短距離請參閱兩點之間總是直線最短嗎？

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