正方形既是一種特殊的平行四邊形，又是一種特殊的矩形，也是一種特殊的菱形，“特殊性”如此強的圖形，自然是數學學習的重點和考試的熱點。以正方形為載體的中考題，往往以基礎知識、基本技能、基本數學思想和基本數學活動經驗為依托，考查考生運用基礎知識分析、解決問題的能力。

要想準确解決正方形有關的題型，應靈活利用以下這些基本性質：

正方形的對邊平行，四條邊都相等；

正方形的四個角都是直角；

正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角且是正方形的對稱軸。

正方形有關的綜合題型曆來都是中考數學的熱點題型，倍受中考命題老師的青睐。在全國各地的中考數學試卷中，正方形有關的中考試題，其立意新穎，融合了幾何與代數于一體，蘊含數形結合思想方法，有較強的綜合性。

就像這道中考試題，就是一道綜合性較強的試題，一起來看看。

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE＋GD．

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積．

考點分析：

正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，直角梯形。

題幹分析：

（1）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。

（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，從而可得GE=BE GD。

（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE DG，即可求得DG的長，設AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE²=AD² AE²，可得方程，解方程即可求得AB的長，從而求得直角梯形ABCD的面積。

正方形是最特殊的四邊形，它具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。因此，與正方形有關的問題一直是中考命題的熱點，其題型有選擇題、填空題、解答題和操作題等。

近年來中考數學對正方形的考查成為平面幾何的熱點，而正方形中“一線三直角”模型應用非常廣泛。首先要講清模型的條件與本質，再通過變式訓練，學會在複雜背景下識别并靈活地應用模型，從而很好地培養學生思維的概括性和靈活性，最終提高學生的數學成績和數學素養。

如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分别是BC、CD邊上的點，且AE⊥EF，BE=2

（1）求EC：CF值；

（2）延長EF交正方形∠BCD的外角平分線CP于點P（圖2），試判斷AE與EP大小關系，并說明理由；

（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由。

考點分析：

相似三角形的判定和性質，正方形的性質，外角平分線定義，全等三角形的判定和性質，平行的判定，平行四邊形的判定。

題幹分析：

（1）由正方形的性質可得：∠B=∠C=90°，由同角的餘角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，即可證得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得EC：CF的值.

（2）作輔助線：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，利用ASA，易證得：△AME≌△PCE，則可證得：AE=EP。

（3）過點D作DM⊥AE交AB于點M，此時M使得四邊形DMEP是平行四邊形。一方面由△BAE≌△ADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EF得DM∥ EP。根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得證。

正方形是最特殊的四邊形，故一個四邊形要成為正方形，限制條件也最多。這就導緻正方形有關的試題綜合性較強，解法靈活，這就要求我們在答題時要認真審題，寫好步驟，明确已具備了什麼條件，弄清還缺少哪些條件。

另外，還要注意一點，縱觀近年來各地的中考數學試題，可看出折疊問題很受命題者的青睐，已成為熱點題型之一。解答此類問題，要掌握正方形等特殊四邊形的性質，明确對折前後的兩部分是關于折痕所在的直線對稱的，很可能需要運用方程思想利用勾股定理等建立方程或方程組，才能解決問題。

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