離散數學是編程人員進階的必修科目，是計算機專業學生的基礎課程之一，多為理論性知識，較抽象。

【離散數學】第一章（集合論基礎）的小節主要有：

• 1.1集合的定義和表示
• 1.2集合與元素的關系
• 1.3集合與集合之間的關系
• 1.4一些特殊的集合
• 1.5集合的運算

在這篇中我們讨論1.2集合與元素的關系和1.3集合與集合之間的關系。

本兩小節包括4個知識點——1.元素的性質，2.集合與元素的關系，3.集合與集合的關系，4.外延性定理。

元素有三個性質，分别是：

• 确定性

一個元素與一個集合，隻有兩種關系，要麼元素屬于集合，要麼元素不屬于集合，沒有第三種情況。

就像一個孩子和一位母親，要麼孩子是這位母親生的，要麼不是這位母親生的，絕不可能兩位母親生出同一個孩子。

例如：對于元素a和集合A={1,2,b}，就是a不屬于A，數學表達為a∉A。

對于元素b和集合C={7,9,b}，就是b屬于C，數學表達為b∈C。

• 無序性

集合内元素的排列是任意的，怎麼排都可以。

與數組内的元素剛好相反，(數組是元素有序的集合)但是一般而言，我們喜歡按規律來排列。

例如：{a,b,c,d}和{b,a,d,c}兩個集合是相等的，但是我們一般更喜歡第一種。

• 互異性

同一個集合中有多個相同的元素隻算1個，可以舍去多餘，保留1個即可。即集合中的元素各不相同

例如：{1,2,2,3,a,a,b}和{1,2,3,a,b}兩個集合是相等的，相同元素可以舍去。

集合與元素的關系

• 基數(cardinal number)

一個集合内所有元素的個數稱為基數，即為|A|或者cardA，其中A是集合名稱

例如：集合B={7,8,9,a,b,c}，那麼|B|=6 (cardB=6)。

• 從屬關系(∈，∉)

如果一個元素a在集合A内，那麼我們稱或者a屬于A，數學表達為：a∈A

反之，一個元素a不在集合A内，我們稱為a不屬于A數學表達就是：a∉A

注意：

一個集合的元素可以是另外一個集合。

A={2,6,a}，B={1,3,{2,6,a},c}

此時集合A是集合B的一個元素。

集合與集合的關系

• 包含關系

集合A與集合B，如果集合B中的任一元素都能在集合A中找到，那麼我們稱為B被A包含，或者說A包含B，數學表示為：B⊆A。

• 子集(subset)

如果B包含A，那麼稱A是B的子集。

反之，集合A有元素不能在集合B中找到，那麼稱為A不被B包含，或者B不包含A，數學表示為：A￠B。

假設集合G表示“在廣州的人”，集合D表示“在廣東的人”，那麼每一個“在廣州的人”一定都能從“在廣東的人”中找到，即為G中任一元素都能在D中找到，所以D包含G(G被D包含)。反之，“在廣東的人”不一定在“在廣州的人”中，可能去了廣東其他地方，所以G不包含D(D不被G包含)。

• 真包含關系

如果集合A包含集合B，但是集合B不包含集合A，那麼我們稱B被A真包含，或者A真包含B ，數學表示為B⊂A。

• 真子集(proper subset)

如果A真包含B，那麼稱B是A的真子集

還是用集合G表示“在廣州的人”，集合D表示“在廣東的人”，我們知道D包含G，G不包含D，所以D真包含G。

• 相等關系

如果集合A包含集合B，且集合B包含集合A，那麼我們稱集合A與集合B相等，數學表達為A=B。

外延性定理

通過集合間的相等關系，我們得到一個結論：兩個集合相等的充分必要條件是兩個集合相互包含。

外延性定理：兩個集合相等，當且僅當他們有相同的元素。

• 證明集合相等

先證：A⊆B(∀x∈A,......,x∈B所以...)再證：B⊆A(∀x∈B,......,x∈A所以...)由上兩式知：A=B。

以上便是1.2＆1.3小節集合與元素，集合與集合之間的關系的全部内容。如果對您有幫助的話，可以點一個贊。如有錯誤，感謝指出。

本小節内容較為簡單且基礎，下次我們繼續介紹1.4＆1.5小節——特殊的集合和集合的計算。

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