前天連載，從勾股定理談到歐拉的虛坐标系，從而談到虛坐标系中數理兼容表達的0。接着這個話題，昨天連載談了一下對0的認識，結果留言多多。多以古代數理文化或道教的方式解釋0。

數學就寫了一個0，數理文化就蒙了，解釋幾千年，好像就說不清楚

幾何勾股定理的産生，卻意外促使古代數理文化随之版本升級

我們通常很少在意數學的0，認為很簡單，沒什麼解釋的。結果是，似乎誰也沒有描述清楚0到底是什麼。都是基于自己的文化底蘊，對0産生了不同的解讀。

我們以為的知道，明确，在0面前，卻變得如此的含糊。

0這個現代數理的淵源，在西方文化體系中，代數方面在笛卡爾、歐拉，前文連載已經解讀；幾何方面，西方認為在克萊因瓶。而中國古代這個淵源就得追溯到太極的魚眼，追溯到《老子》中的“無”這個字。

我們可能更多地關注了克萊因瓶這個瓶子本身，就如當年我們糾結在太極的魚眼不同的解讀中一樣。

克萊因瓶

克萊因瓶是為了表達西方傳統的歐氏幾何中維度概念的死角問題，由莫比烏斯帶引出了的。這個幾何發展方向，促使數學的另外一個分支，拓撲學的産生。它打破傳統維度幾何概念的限制。（還有一個分數維，算是對傳統維度概念的補充、完善、彌補，但是自己尚未完善，至今與傳統歐氏維度概念并不能完全對接。這兩個分支以後再說，今天繼續解決0的問題。）

先談克萊因瓶，懂了克萊因瓶，莫比烏斯帶就不是問題了。

這個話題需要從克萊因瓶談起。

對于克萊因瓶，有太多的誤讀，甚至有人認為它在三維世界中不存在。那瓶子都做出來擺在那裡，為什麼會說它不存在呢？

這又是模糊不清的四維概念惹的禍。

四維時空不是四維空間，四維空間也不是四維時空，為什麼

克萊因瓶

簡單說，如果讓克萊因瓶的瓶頸不穿過瓶身，可否能讓瓶口回到瓶子的底部，且讓瓶口與瓶底正好180度反向呢？

德國數學家克萊因（1849年－1925年）提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物——克萊因瓶。這種瓶子根本沒有内、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無内”的古怪東西。 盡管當時玻璃工業已經發展，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本制造不出來。後來一位英國的玻璃吹制工貝德福德，用玻璃解決了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就成為倫敦科學博物館中的一項永久性陳列品。

這個完全符合克萊因數學條件的瓶子是做不出來了。我們見到的克萊因瓶雖然表達了克萊因的部分數學思想，但是，并沒有完全符合條件，瓶頸穿過了瓶身。因此，這是一個“僞克萊因瓶”。

用數學語言表達就是：克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中，克萊因瓶必然跟自身相交，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入(immersion)。

通過對克萊因瓶的簡單介紹，我們發現，它表達的原理，為什麼與太極的原理有幾分雷同呢？

0在克萊因瓶中被放大表達了，瓶口與瓶底都是0。而不是如太極魚眼一樣被縮小表達了。而且，太極魚眼沒有明确表達運行路徑，而是用抽象的語言來描述這個轉換的機制。

筆者曾經将這個太極圖中沒有直接畫出來的路徑試着畫出來。

甲骨文的啟發—三維的太極圖橫空出世了

三維表達的太極圖

在太極圖的魚眼處，陽的終結是一個陽點。而這個陽點稀裡糊塗地就變成了陰點，變成了陰的開始。如果點有形狀，且是陰陽分隔的球體，那麼隻要轉身180度，才能達到這個效果。

可是，點有形狀嗎？這與笛卡爾定義的點有沖突。如果點沒有形狀，這種轉換如何表達？古人用了一堆晦澀難懂的人文的解讀來表達。

結果就是，笛卡爾捷足先登。即然這個點有幾何問題，我們先假設這個問題不存在，讓後人再折騰這事，先解決現實的應用問題。那麼解析幾何就産生了，筆者如今也就來折騰這事了。

太極這隻超前的人文兼容表達的兔子，被烏龜抄了數學的近路。但這個數學問題還放在這，并未解決！

誰說必須所有的數學問題都得解決了？沒解決的數學問題還很多，不差這一個。龜兔賽跑，隻需領先一步就是赢了，并沒有明确的比賽規則。沒說不準超近道，也沒說不準彎道超車，更沒說不準改變規則。

結合相對論的三維太極圖

基于這種思考，太極還能引申，奇點、黑洞（魚眼處）、蟲洞（圖中開口處），這個三維的太極圖就都可以表達了。

這太極兔子曾經領先了太多，僅僅是被烏龜近幾百年抄了近道。這個近道是什麼？－－數學！

用中國傳統文化方式通俗解釋克萊因瓶：

最早提出這個思想的是老子，太極圖形是後世衍生出來的，但肯定比莫比烏斯帶和克萊因瓶早很多。

太極的陰陽兩級分别用一條魚的形狀表達。在陰魚的最大處，有一個陽魚眼。一般畫得很大的一個點，但是這個點代表的是無窮小的一個點，兼容表達數學的0和無限小。它在甲骨文中，是無的意思。也就是陽魚的尾巴的起點是從這裡開始的。

太極圖

現在我們的數學問題來了。這個太極圖形是畫在二維歐幾裡得平面上的，假設不離開這個平面，也就是不進入三維空間，這個陽魚眼怎麼與陽魚的尾巴連接。這就是克萊因瓶遇到的問題。它是用一個三維的瓶子形狀來表達這個問題。如果瓶頸不進入四維，那麼瓶頸就必須穿過瓶壁。也就是現實的三維中，真正的瓶頸不穿過瓶壁的克萊因瓶是不存在的。

而太極的陽魚眼到陽魚尾巴這是要跨域到三維才可實現可見的連接，而我們将它限制在二維平面，那麼它也就是隻能畫那麼一個點來表示。無法表示連接路徑。這個路徑上升到到下一個維度，那麼就和克萊因瓶遇到的問題一樣了。

當然，這個沒法在二維太極圖中畫出來的路徑也是相對論的數學推論－－蟲洞、黑洞、奇點的表達。先假設太極圖本身是三維的就可以了。數學允許前提假設！那麼，那個點的出口現在的理論物理假說的數學解釋就是白洞。而連接這個路徑的魚尾巴，我們能夠看見的，就是黑洞視界，路徑就是蟲洞，點就是奇點。

這是太極理論方法的數學解讀。

用廣義分數維方式通俗解釋克萊因瓶：

現代分形的分數維，這種數學産生于上世紀七十年代。是針對于分形幾何産生的維度概念。

實際上，真正的2.0維是經典的歐幾裡德二維平面。一張放在桌面上的白紙，這是2.0維。如果這張紙有厚度，過去的解讀，就是因為有了長寬高，而變成了三維體系。那什麼是二點幾維呢？從這張白紙上升起一根線來，這就是簡單的2.1維。如果這根線複雜到充滿三維空間的整體，那麼，這就是2.9999維。這個9循環。而三維空間的無限尺度的這個整體，才是3.0維。

現在我們來看莫比烏斯帶，那是二維嗎？在整個轉身銜接的過程中，它占用了二點幾維的空間，它已經不是純粹的二維了。它是最接近2.0整數維的一個特殊體。

莫比烏斯帶

那麼環形和克萊因瓶呢？明顯不是經典意義的二維面。它是經典意義的三維體，但是又不是整數三維體。那麼，我們能做出來一個在三維中對付可看的僞克萊因瓶，就是因為，做出來的僞克萊因瓶雖然能夠表達克萊因的部分數學思想，但由于這個瓶子僅僅是大于整數三維，但是小于整數四維的一個幾何體。而真正的克萊因瓶需要4.0整數維多一點點的維度。

這兩種方法的解釋，比用拓撲的解讀要簡單一點點。同時，筆者使用的廣義分數維度概念，數學書裡面并沒有這樣的解讀，是對分數維概念廣義的引申擴展。基于這種廣義的引申，相對論是大于3.0維小于3.9（9循環）維以下的數學拟合。那麼，四維時空中的這個四維概念，是愛因斯坦錯誤的表達。當時分數維這個概念還沒有，而對于分數維概念廣義的引申，今天你才看見，數學書裡也沒有，外國人還未發明！

廣義的分數維向上、向下解讀方式是通用的。

如果理解上文了，莫比烏斯帶就不用太多解釋了。帶對于傳統的歐氏幾何，它是二維的概念。可是扭了180度的彎再接上，這就是莫比烏斯帶了。我們通常會看到用螞蟻介紹莫比烏斯帶的。那隻催悲的螞蟻，在平面上爬，它不知道自己已經在三維空間中循環地行走，因為它從未仰望星空，隻看到了二維的平面，并未感覺出來平面180度的轉身。

傳統的歐氏幾何，因為這個帶的180度的華麗轉身，幾何解讀死角被暴露出來，結果就是拓撲數學産生了。

這種帶通常被應用于動力傳動皮帶上，以避免傳送帶單面磨損。

數學解讀克萊因瓶

（這段可以跳過，能看懂這段的，就不用聽我解釋數學，看看太極的解讀就可以了。）

“數學中的克萊因瓶（Klein bottle）是一種不可定向的閉曲面，沒有“内部”和“外部”之分。克萊因瓶最初的概念是由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fläche”是“克萊因平面”的意思。大概是誤寫成了“Flasche”，這個詞才是瓶子的意思。在數學上，克萊因瓶是一個不可定向的二維緊緻流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊緻流型。從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為正方形區域[0，1] × [0，1]模掉等價關系 (0，y) ~ (1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ~ (1-x，1) ， 0 ≤x≤ 1。就像麥比烏斯帶（又名：莫比烏斯環）一樣，克萊因瓶不可定向。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在三維的歐幾裡德空間中嵌入，克萊因瓶隻能嵌入四維（或更高維）空間。”旁白

無奈

對180度這個華麗的轉身，最先産生困惑的是老子。

“道沖,而用之有弗盈也。”－－《道德經》第四章

後世文人，沒有幫老子解決這個困惑。外國人也就出手幫忙了。

你可以查一查有關這句話古人千奇百怪、牽強附會的解釋，就沒人談到數學。當然，脾氣不好的就算了，别看了，免得氣着。老子所處的年代，文理不分科，而後世文人，從未想到這句話談的是數學，而且是領先2000多年的數學思考！

隻能假設你懂了。古人要是悟一悟太極的幾何原理，那麼黑洞、蟲洞、奇點、白洞假說，都應該是中國人提出來的。至于這個帶和瓶，也就是裝飾品了。

待續。。。。。。

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