數列極限公式大全-tft每日頭條

數列極限公式大全

生活更新时间:2024-12-24 10:51:25

數列的極限

對于無窮數列，我們在高中已經學過很多很多，其中有一些數列有特點，我們看範例。

數列極限公式大全（數列的極限）1

我們可以觀察發現，

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會越來越小，最後無限趨近于0

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一個正一個負，但最後也會無限趨近于0

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會越來越大，雖然不容易看出來，但它們最後也會趨近于一個常數2

而相應的另兩個數列

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顯然最後不會趨近于一個常數，前者在兩個數之間跳，後者趨近于無窮。

然後，數學家上場了，他們說，我們下定義吧。

如果數列趨近于一個常數，則稱這個數列是收斂的，否則就稱這個數列是發散的。并且用符号

數列極限公式大全（數列的極限）6

上例中，我們就可以這樣寫

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似乎很清楚了哦。但是這樣直接顯得數學家都很低端，于是他們開發出了一套語言，專門用于描述極限，不過，那真的隻是數學家玩的，咱們不理他就好了。

什麼？什麼？你想看看數學家的這個描述？那好吧，我表演給你看，看得懂看，看不懂拉倒。

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我個人感覺是，亂七八糟說得什麼啊。明明很簡單明白的事，說得辣麼複雜！

當然，像本文所舉的數列，極限很容易看出來，有些數列的極限就不太容易看出來，需要稍微計算一下。例如

數列極限公式大全（數列的極限）9

就不這麼容易看出來。這就需要一些運算和簡單結論，以下結論顯然得不能再顯然了。

數列極限公式大全（數列的極限）10

有了這些簡單顯然的結論，稍微複雜的極限也就好算了。

數列極限公式大全（數列的極限）11

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有了數列極限的工具，就可以輕松破解著名的芝諾悖論：

讓烏龜在運動員阿基裡斯前面1000米處開始，和阿基裡斯賽跑，并且假定阿基裡斯的速度是烏龜的10倍。當比賽開始後，若阿基裡斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基裡斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然前于他10米；當阿基裡斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前于他1米…… 芝諾認為，阿基裡斯能夠繼續逼近烏龜，但決不可能追上它。

我們可以設，阿基裡斯跑到第一個烏龜點，用時t

阿基裡斯跑到第二個烏龜點，用時t/10

阿基裡斯跑到第三個點，用時t/100

……

阿基裡斯跑到第n個點，用時t/10^n

于是阿基裡斯追上烏龜的總用時

數列極限公式大全（數列的極限）13

也就是說，阿基裡斯追上烏龜的時間是有限的，雖然是無窮數列，但數列的和并不是無窮。

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