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數學德爾塔公式如何推導

生活 更新时间:2025-01-27 19:53:05

歐拉公式：

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）1

它是最著名的公式之一，它說明了複指數函數和三角函數之間的關系。它還提供了笛卡爾坐标和極坐标之間的有效轉換。因此，可以在許多數學分支，物理學和工程學中找到歐拉公式。

其中e是自然對數的底，i是虛數單位，并且θ∈C，e^i稱為單位複數。

歐拉公式的證明:

歐拉公式的推導是基于指數函數e^z和三角函數sin(x)和cos(x)的泰勒級數展開，其中z∈C, x∈R。

指數函數e^z的泰勒級數展開我們得到:

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）2

現在，讓z=ix有以下形式:

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）3

我們對上式進行化簡，并且由于i^2 = -1得到：

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）4

重新排列右邊的項，将所有 i 項放在最後，得到:

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）5

我們在結合cos和sin的泰勒級數展開式：

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）6

因此，它簡化為

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）7

這就是著名份歐拉公式

最後，當我們計算x = π的歐拉公式時，得到

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）8

它對應的幾何圖形就是

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）9

最終得到一個将e,i,π,1,0，聯系起來的公式

數學德爾塔公式如何推導（數學上最偉大的公式之一）10

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