線性代數系數矩陣的秩-tft每日頭條

線性代數系數矩陣的秩

生活更新时间:2024-10-12 20:17:13

我們給出一道實例，通過例題來幫助理解

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）1

做題之前先審題，第一小題很容易就做出來了

題目給出了兩個信息，第一個，是矩陣A有3個不同的特征值

由此可以得到矩陣A可以對角化，與對角矩陣P{λ1,λ2,λ3}相似

第二個條件，就是α3=α1 2α2

可以得到

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）2

圖二

由此可知，A的其中一個特征值便為0

由于三個特征值不同，說明其他兩個特征值都不為零，那麼它的對角矩陣P為{λ1,λ2,0}

因為相似，所以可以得到r(P)=r(A)=2

第二小題，要根據第一小題來做了

要求Ax=β的通解，我們先來看看Ax=0的通解

很明顯，通過條件α3=α1 2α2可以得到Ax=0的通解，如下圖所示

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）3

圖三

再根據β=α1 α2 α3可以得到

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）4

圖四

即為

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）5

圖五

那麼最後就可以得到Ax=β的通解為

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）6

圖六

詳細解題過程如下圖所示

線性代數系數矩陣的秩（特征值與矩陣的秩之間的關系）7

圖七，詳細步驟如圖

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