各位朋友，“數學視窗”繼續與大家分享中考數學試題，選取有一定難度的解答題進行講解。今天分享的是2021年廣東中考數學試卷第24題，此題是有關圓的綜合題，第1、2小題比較簡單，第3小題有一定難度。這道題考查了平行線的性質，切線的判定，銳角三角函數，矩形的判定和性質等知識。下面，我們就一起來看如何解答這道題吧！

例題：（2021·廣東第24題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，點E、F分别在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF．

（1）求證：CF⊥FB；

（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；

（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面積．

分析與解答：（以下的過程僅供參考，部分過程有所省略，可能還有其他不同的解題方法）

（1）此小題的解題思路是利用條件推出FB，FC是一對鄰補角的角平分線，再進行等量代換即可。

證明：∵CD=DF，

∴∠DCF=∠DFC，

∵EF∥CD，

∴∠DCF=∠EFC，

∴∠DFC=∠EFC，

∴∠DFE=2∠EFC，

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵CD∥EF，CD∥AB，

∴AB∥EF，

∴∠EFB=∠AFB，

∴∠AFE=2∠BFE，

∵∠AFE ∠DFE=180°，

∴2∠BFE 2∠EFC=180°，

∴∠BFC=∠BFE ∠EFC=90°，

∴CF⊥BF；

（2）證明：如圖，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，

（過圓心作垂線，再證明垂線段等于半徑即可）

∴∠OHC=90°=∠ABC，

∴OH∥AB，

∵AB∥CD，

∴OH∥AB∥CD，

∵點O是AD的中點，

∴點H是BC的中點，

連接并延長交BA的延長線于G，

∴∠G=∠DCO，

∵∠AOG=∠DOC，OA=OD，

∴△AOG≌△DOC（AAS），

∴AG=CD，OC=OG，

∴OH是△BCG的中位線，

∴OH=1/2BG=1/2（AB AG）

=1/2（AF DF）=1/2AD，

∵OH⊥BC，

∴以AD為直徑的圓與BC相切；

（3）由（1）知∠DFE=2∠EFC，

∵∠DFE=120°，

∴∠CFE=60°，

在Rt△CEF中，EF=2，

∠ECF=90°-∠CFE=30°，

∴CF=2EF=4，

∴CE=2√3，（運用勾股定理求出）

由（1）知，∠CFB=90°，

∵∠CFE=60°，

∴∠BFE=30°，

在Rt△BEF中，EF=2，

∴BE=EF•tan30°=2√3 /3，

∵AB∥EF∥CD，

∴S△AEF=S△BEF，S△DEF=S△CEF，

（等底等高的三角形面積相等）

∴S△ADE=S△AEF S△DEF

=S△CEF S△BEF

=S△BCF

=1/2•EF•BC

=1/2•EF•（BE CE）

（代入數據略）

=8√3 /3．

（完畢）

這道題是關于圓的綜合題，難點是将三角形的面積進行分解和轉換。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家給“數學視窗”留言或者參與讨論。

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