電動力學(電流和磁場)

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在這一期的電動力學專題中，我們将會探索電流和磁場，與電荷和電場相比，它們有什麼不同有什麼類似，它們又有什麼性質呢？接下來，讓我們一起開始一場全新的探索吧！

通過一根導線的電流，我們通常用通過導線截面的總電流I來描述。但電流強度是宏觀物理量，對于電荷運動的描述十分粗糙：帶電粒子在空間各點的運動速度快慢可能不同，電流強度沒有描述其運動速度大小的分布；電流強度是标量，帶電粒子運動方向在空間各點可能不同，電流強度沒有描述帶運動方向的差異。

很多時候，我們不僅想知道總電流，我們更想知道總電流在導體内是怎樣分布的。因此我們引入了一個新的物理量——電荷密度。

如圖，設dS為某曲面上到一個面元，它在該點上的電流方向有夾角θ，定義電流密度J，它的方向沿着該點上的電流方向，它的數值等于單位時間垂直通過單位面積的電荷量，由這些條件，我們即可求出通過面元dS的dI為：

通過任一曲面S的總電流I為：

假如電流由一種電荷密度為ρ的帶電粒子構成，平均速度為v，則電流密度為：

加入電流是由多種密度、平均速度不同的帶電粒子構成，則電流密度有：

電流密度是對空間點定義的，而電流強度是對于一有限面定義的；電流密度是矢量，方向與該點正電荷速度方向一緻。

接下來我們來看電流守恒定律：實驗表明電荷是守恒的，即電荷不能消滅及産生，而隻能發生轉移。

假如我們在一個空間中用封閉曲面S包裹出一個确定的區域V。如果有電荷通過封閉曲面S從區域V中流出，那單位時間流出的電流顯然是：

那麼根據電流守恒定律我們可以知道，單位時間内通過封閉曲面S流出電荷量，應該和區域V中單位時間減少的電荷量相當，即：

等式右邊即為區域V中單位時間減少的電荷量。這是電荷守恒定律的積分形式，我們可以利用高斯公式，這樣就能得到：

結合兩式，顯然，動量守恒定律的微分形式為：

這一等式也被稱為電流連續性方程。

在穩恒電流的情況下，電荷量等物理量不再随時間發生變化，因此我們就會得到：

這個式子說明穩恒電流的電流密度的散度為零，即穩恒電流的電流線是閉合無源的曲線。簡而言之，穩恒電流隻能在閉合回路中存在，一斷電就沒了。

而對于非穩恒的電流，我們則可以從電流連續性方程中看出，它的電流線的彙聚和發散會伴随着電荷的積累。

通過實驗我們發現，電流和電流之間也會有力的作用。那麼這個力該如何計算呢？物理學家安培通過實驗得出在真空中的兩個電流元之間的作用力為：

從中我們可以發現：電流元之間的相互作用力也和電荷之間的相互作用力一樣，服從平方反比律。

同時我們也發現一個問題，由于是叉乘，電流元之間的相互作用力不滿足牛頓的作用力與反作用力定律，即F12和F21是不相等的。實際上，這一問題的出現是因為不可能存在穩定的電流元，為此我們來看一看穩恒情況下的閉合回路。

對于圖中所示閉合回路之間的作用力，我們有：

根據矢量運算公式A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)，我們可以得到：

從中，我們可以看到閉合回路之間的相互作用力滿足牛頓第三定律。

而就像兩個電荷之間的作用力，電流之間的作用力也需要有“場”來傳遞，即磁場。電流激發磁場，而當另一電流處于該磁場中時，就受到磁場對它的作用力，對電流的作用力是磁場的特征性質，我們就用這一性質來描述磁場。通過實驗我們發現，一個電流元Idl在磁場中所受的作用力可以表示為：

矢量B是電流元所在點上磁場的性質,稱為磁感應強度。

恒定電流激發的磁場由畢奧-薩伐爾定律給出。記J(x')為源點x'上的電流密度，r為由x'到場點x的矢徑，則場點上的磁感應強度為：

其中μ0為真空中磁導率。

假如電流集中在細導線上，用dl表示回路L上的線元，那麼我們就能寫出細導線上恒定電流激發的磁場：

與電場類似，我們想要了解磁場更多的性質，我們必須要知道磁場的散度和旋度。這裡我們先來讨論磁場的散度。

式中，A定義為為矢勢：

由此我們可以得到：

我們在矢量分析02中推出過一個結論，矢量場旋度必為無源場，所以對于這個式子我們能直接得到：

從上述這個式子中我們可以得知：由電流激發的磁場都是無源的。那麼是否存在一種與電荷對應的磁荷源呢？按照目前對于磁單極子(孤立的磁荷)的探索來說，并沒有發現其存在的證據。因此，我們可以把這個式子當作磁場的一條基本規律。

這裡我們依舊要用到矢勢A：

其中：

對于第一項來說，可以利用高斯公式将體積分轉化為面積分，對于包圍區域V'的閉合曲面S，并沒有電流通過，所以面積分的結果為零；而第二項，對于穩恒電流來說，我沒有：

因此，這一項積分結果也為零。

接下來我們計算∇²A：

上式的被積函數隻可能在x=x'點不為零，因而體積分僅需對包圍x點的小球積分。這時可取J(x')=J(x)，即可将其提出積分号外，對剩餘部分進行積分：

因此，我們就有：

不過需要注意的是，我們在推導過程中利用穩恒電流的條件，顯然這個式子隻在穩恒電流條件下成立，而并非一般情況下的形式。

在初步了解了靜電場和靜磁場之後，在下一期中，我們将開始了解麥克斯韋方程組，了解每一個等式背後的含義是什麼。

各位對電磁世界好奇的小夥伴，我們下期專題見啦，喜歡的話記得點一下關注哦！

編 輯|笨笨

校 對|笨笨

審 核|笨笨

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