初中數學角平分線尺規作圖-tft每日頭條

初中數學角平分線尺規作圖

教育更新时间:2025-01-07 09:34:38

黃金分割是指将整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。是古希臘數學家畢達哥拉斯提出來的。

當整體與較大物體的比例符合1:0.618時，人們就會覺得協調和美，文藝複興時的西方藝術家長藝術理論家把黃金分割律作為藝術建築必須産物的規律。

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）1

在頂角為36°的等腰三角形中：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）2

以底邊AF為半徑，A為圓點作圓教AO與E點，E為AO的黃金分割點，即：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）3

如果能在圓上做出圓心角是36°的等腰三角形，我們就可以作出正10邊形，進而得到正五邊形，以下是作圖過程。

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）4

圓O上取一點A，過O作OA垂線，做OA中垂線交OA于B點
以O為圓心，OB為半徑作圓，交OA垂線于C點。連接AC。
以C為圓心，OC為半徑作圓交AC與D點。
以A為圓心，AD為半徑作圓交AO與E點，交圓與F點。

E為OA黃金分割點，∠AOF=36°

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）5

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）6

最後連接AF，即為正10邊形的邊長。

結論：頂角為36°的等腰三角形ΔAOF為黃金三角形，即三條邊的比例如下：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）7

證明如下：

根據下圖我們可以求出sin36°：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）8

BD為∠ABE角平分線，DE⊥BC，從而構成2個相似三角形，

ΔABC∼ΔDBA，從而可得：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）9

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）10

再通過三角函數半角公式印證：如三角形三邊構成以上比例，則為頂角為36°的等腰三角形。（同學們可以自行推導）

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）11

三角函數半角公式

最後如圖一步步作圓，得到10點交點：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）12

最後連接各交點：

初中數學角平分線尺規作圖（初中幾何9黃金分割與尺規作圖正五邊形）13

綠色為正10邊形，紅色為正5邊形。

畢達哥拉斯與黃金分割

一天，畢達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節奏的叮叮當當的打鐵聲所吸引，便站在那裡仔細聆聽，似乎這聲音中隐匿着什麼秘密。他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發現它們之間存在着一種十分和諧的關系。回到家裡，畢達哥拉斯拿出一根線，想将它分為兩段。怎樣分才最好呢？經過反複比較，他最後确定1：0.618的比例截斷最優美。後來，德國的美學家澤辛把這一比例稱為黃金分割律。

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