百度百科：

定義一：正弦（sine），數學術語，在直角三角形中，任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA（由英語sine一詞簡寫得來），即sinA=∠A的對邊/斜邊。

突然發現，這個定義是有問題的。這個定義非常直觀，适合入門，但問題是隻能将角的取值範圍定義為0°到90°之間，而且不包括0°和90°。這個定義不支持自變量的取值範圍：。

另一個高級的定義：在直角坐标系中，給定單位圓，對任意角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P（u，v），那麼點P的縱坐标v叫做角α的正弦函數，記作v=sinα。

這個定義就沒有上述限制了。

以前是沒有計算器或其他任何電子計算工具，當時人們是計算三角函數值時，常常采用三角函數對照表。

三角函數對照表

但三角函數對照表是近似值，在一些計算精度要求很高的場景，可能并不能滿足要求。

以正弦函數值求法為例，因為求得正弦函數值，就不難求出其他三角函數的解析值。這裡的解析值是指精确解（如），而非近似解（如1.41421356237）。

從下文可以看出，1°到90°的三角函數（如正弦函數值）都有解析解，都可以通過正整數的加減乘除、開根号（二次根号、三次根号等）、負号等構成的表達式表示，是精确值，而非三角函數表中的近似值。

求出1°～90°角的三角函數值，再根據三角函數的誘導公式，就不難求出91°-360°角的三角函數解析值了。

根據正弦函數的定義，不難得到：

道生無，無即0。“道”（Tao）即前面的關于正弦函數的定義。

我們就從0出發給出所有1°到89°的正弦函數的解析值（注意是精确的解析值，而非小數的近似值）的求法。

∵,所以

∴

根據正弦函數半角公式，得出：

根據正弦函數的三倍角公式得到：，也即，這個是的一元三次方程。解該方程，得到：，進而得到。

15°角的三角函數值的幾何求法：

。也可以根據三倍角公式求得：是一元三次方程該方程有。

根據正弦函數的三倍角公式得到：，也即，這個是的一元三次方程。根據一元三次方程的求根公式

解該方程，得到：

（舍棄了另外倆不合理的無效根），這是一個用複數表示的實數，其值為。形式上之所以是一個複數，是因為采用了一元三次方程的通用求根公式（後面情況類似）。

。

也可以根據三倍角公式求得：是一元三次方程的一個根求得。

=

下面求18°角的三角函數值：

1）幾何方法：做如下等腰三角形，并做輔助線和，為的角平分線，。

設、。不難得到。故，即，解得；或者因為的角平分線，故根據角平分線定理可得，也即，同樣可以解得。進而得到。從而，。

2）代數方法：（兩倍角公式），且是方程的一個根。而該方程有三個跟：（舍去）、（舍去）和。

（三倍角公式）是一元三次方程的一個實根。該一元三次方程一定有三個解析解：

驗算一下，将

代入，得到

不難排除、兩個解，而是合理解，即

也即

其中

如果有強迫症，可以寫出的最終表達式：

注：雖然是複數表達式，但代入後，計算出來的值卻是一個實數。

道家：無生有！

隻要算出了的值，其他任何整數度數的三角函數就迎刃而解了。正所謂“有生萬物”！

（一生二）

，帶入的值，得到

，這個值與的值存在神秘的關聯！！！

，帶入和，計算得到：

，帶入、、和，計算得到：，這個值與的值有密切的關系。

，帶入相關值，得到：

，這個值形式上與和神秘關聯。

，帶入上述已經求出來的相關值，得到

，帶入前面的計算結果，得到：，這個值與形式上與、和神秘關聯。

，帶入、的值，求得：

類似的當，因為前面已經求出了，故：

；當時，；當時，;當時，；當時，令%，再叠代使用上面公式；當時，。

進而可以計算出任意整數角度的正弦函數值（都可以表達為一個精準解析值）。

同時，通過上述計算，我們實際上已經證明了一個結論：當為整數時，函數值是一個代數數。

1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、

11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、

21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、

31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、

41°、42°、43°、44°、45°的正弦函數值都是有精确解，在此基礎上可以計算出他們的餘弦函數值，再根據三角函數的誘導公式，計算出46°-90°的正弦函數，進而求出其他任意整數度數的三角函數精确值表達。

求得精确值後，在實際工程應用中，可以根據具體場景需要，計算到任意精度。

當然，人類的計算手段越來越豐富，實際工程中，多半會采用三角函數的泰勒級數展開，如

正弦函數的連分數表示：

這兩個公式中的自變量是弧度，而非度數。如果是弧度，級數展開公式變為：

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!