這是《機器學習中的數學基礎》系列的第12篇，也是微積分的第5篇。
今天我們來關注指數函數的求導，不過在此之前，先來看一個工業界和設計界都會用到的自然常數e，它也和指數函數有着密切的聯系。
那麼，什麼是自然常數e？它的定義如下：
也就是說，當x趨于0時，上面式子的值就是自然常數e。好，現在我們把上式做一個變形，得到：
然後我們把1移到左邊，兩邊再同時除以x，得到：
好，讓我們記住上面這個（1）式，一會求導要用到它。
接下來就進入正題了，我們要對指數函數求導。先舉一個特殊的例子y=e^x，它的導數求出後，就可以推廣到更一般的指數函數了。
根據導數的定義，我們給自變量x一個微小增量dx，可以得到：
我們把上式展開，然後把e^x提出來，就得到：
觀察上式，你會發現e^x右邊的那一堆，不就是我們的（1）式嗎（這裡dx趨于0）？而（1）式的值為1，因此y=e^x的導數就是它本身，e^x。
我們把這個特殊的例子搞定之後，再來看更一般化的指數函數y=a^x（a為任意實數），它的導數又該怎麼求呢？
這裡需要一個小技巧，我們可以把a寫成e^ln a（其中ln是以e為底的自然對數），因此我們有：
那麼，e^(ln a)x又該怎麼求導呢？很容易看出，這是一個複合函數，根據鍊式求導法則，我們可以得到：
别忘了，a=e^ln a。因此，給定任意一個指數函數y=a^x，它的導數就是(a^x)ln a。
OK，大功告成。歡迎留言讨論。
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