任意一個三角形的三條中線都會交于一點，這個點就叫做三角形的“重心”。任意一個三角形的三條高都會交于一點，這個點就叫做三角形的“垂心”。任意一個三角形三邊的垂直平分線都會交于一點，這個點就叫做三角形的“外心”。 1765 年，大數學家 Euler 指出：任意一個三角形的重心、垂心和外心都在一條直線上，并且重心會把垂心和外心的連線分成 2 : 1 兩段。這個結論雖然有很多很漂亮的證明，但作為一個非常基本的結論，它還有一種非常直觀的解釋方法。最近在做一個課件的時候，需要用到這種直觀理解的動畫演示，結果在網上找了半天也沒找到，最終決定自己做了一個。
上圖中，紅色的點是三角形三條高的交點，也就是垂心；藍色的點是三角形三條中線的交點，也就是重心。現在，把整個三角形繞着重心旋轉 180 度，同時以重心為中心把圖形縮小到原來的一半。于是，每個點都會跑到重心的正對面去，同時到重心的距離也會縮短到原來的一半。你會發現，由此得到的小三角形，三個頂點都在大三角形各邊的中點處（因為它們是大三角形的頂點轉過來得到的，而重心在各中線的 2 : 1 處）；同時，小三角形的三條高分别與大三角形的各邊垂直（因為它們是大三角形的高轉了 180 度得到的）。你會發現，小三角形的垂心正好就是大三角形的外心！而小三角形的垂心就是由大三角形的垂心轉過來得到的，這兩個點與重心應該在一條線上，并且到重心的距離有 1 : 2 的關系。這樣一來，我們就相當于證明了 Euler 線定理。
* 來源：Matrix67博客
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