數形結合思想就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面．

其中“以形助數”是指借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的．

“以數輔形”是指借助于數的精确性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數為手段，形作為目的．

【典型例題】

例3．（15南通）關于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的兩個不相等的實數根都在－1和0 之間（不包括－1和0），則a的取值範圍是 ．

【解析】

【方法一】利用函數圖象“數學結合”解題

解：∵關于x的一元二次方程ax²－3x－1＝0的兩個不相等的實數根，

∴Δ＝b²－4ac＝9＋4a＞0，∴a＞－9\4，

設二次函數y＝ax²－3x－1，

∵方程ax²－3x－1＝0的兩個不相等的實數根都在－1和0之間，∴x₁x₂＝－1\a＞0，

∴a＜0，∴二次函數y＝ax²－3x－1的圖象如圖所示，

∴當x＝－1時，y＝a＋3－1＜0，即a＜－2，

∴a的取值範圍是－9\4＜a＜－2．

故答案為：－9\4＜a＜－2．

【方法二】用方程的有關的知識解題

【總結】根據一元二次方程與二次函數之間的關系，使用圖象法可以快速解決問題．

【舉一反三】

例4．（14濟甯）“如果二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖象與x軸有兩個公共點，那麼一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根．”請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關系是．

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．a＜m＜b＜n

D．m＜a＜n＜b

【解析】

【方法一】

解：方程可以化簡為x²－(a＋b)x＋ab－1＝0，

【方法二】數形結合思想

解：依題意，得，畫出函數y＝(x－a)(x－b)的圖象，如圖所示．

函數圖象為抛物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐标分别為a，b（a＜b）．

方程1－(x－a)(x－b)＝0轉化為(x－a)(x－b)＝1，

方程的兩根是抛物線y＝(x－a)(x－b)與直線y＝1的兩個交點．

由m＜n，可知對稱軸左側交點橫坐标為m，右側為n．

由抛物線開口向上，則在對稱軸左側，y随x增大而減少，則有m＜a；

在對稱軸右側，y随x增大而增大，則有b＜n．

綜上所述，可知m＜a＜b＜n．

故答案為：m＜a＜b＜n．

【方法三】數形結合思想

解：如圖，畫出二次函數y＝(x－a)(x－b)的圖象，

∴該二次函數x軸的兩個交點坐标分别為（a，0）和（b，0）其中a＜b，

将二次函數y＝(x－a)(x－b)的圖象向下平移1個單位，得到新二次函數的解析式為y₁＝(x－a)(x－b)－1，

∴這時新二次函數與x軸的交點為（m，0）和（n，0）其中m＜n，

易得：m＜a＜b＜n．

故答案為：m＜a＜b＜n．

【方法四】特殊值法

解：依題意得令a＝0，b＝1，則原方程可化為1－x(x－1)＝0，即x²－x－1＝0，

【總結】方程問題通常可以轉化為函數問題，利用函數圖象快速判斷答案．

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!