1.1截面作圖三

本文學習目标

1.掌握空間幾何體截面作圖方法

2.會判斷空間幾何體截面形狀徐老師侃數學

作多面體截面方法

一、理論基礎

1.定義及相關要素

用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面．此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線．此平面與幾何體的棱（面）的交集(交點)叫做（實）截點.此平面與幾何體的棱（面）的延長線的交點叫做虛截點．截面中能夠确定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的宏觀思路

找截點～～連截線～～圍截面

3.作截面的一大思維誤區

自我設限，忽略平面（直線）的無限延展性

4.作截面的理論依據

(1)确定平面的條件．

(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們相交于過此點的一條直線．

(3)如果一條直線上的兩點在一個平面内，那麼這條直線上所有的點都在這個平面内．

(4)如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那麼這條直線就和交線平行．

(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那麼兩條交線平行．

5.作截面具體步驟

step.1找截點

方式1:延長截小面上一條直線，與幾何體的棱、面（或其延長部分）相交，交點即截點

方式2:過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體棱于截點

注1：方式1中被延長的截小面上的直線，可以位于截小面外圍（詳見例1延長方式）；也可以位于截小面内部（詳見例3延長方式）；具體選取哪條，取決于延長後，交點是否易于标識

注2:兩種找截點方式的選擇，取決于實際操作中哪種方式下的交點更易标識

step.2連截線

連接同一平面内的兩個截點，成截線

step.3圍截面

将各截線收尾相連，圍截面

老師寄語：掌握思考問題的方式要比掌握一種解題方法重要

二、引例

1.如圖，正方體中，、

、

分别在、

、

上，求作過、

、

三點的截面.

具體步驟：

step1.延長與交于虛截點1

step2.連接與虛截點1交于實截點1

說明：因為點及虛截點1都既在截面上又在多面體表面上，所以與虛截點1的連線即為截線，截線與側棱的交點即為實截點1；

step3.延長與交于虛截點2

step4.連接與虛截點2交于實截點2

step5.順次連接、實截點1、、

、

實截點2、圍成截面.\

2.、

、

三點分别在直四棱柱的棱、

和上，試畫出過、

、

三點的截面.

具體步驟：

step1.延長與交于虛截點1

step2.延長與交于虛截點2

step3.連接虛截點1與虛截點2交、

于實截點2、實截點1

step4.順次連接Q、實截點2、、

圍成截面.

3.試畫出過正三棱柱的底邊及兩底中心連線中點的截面.

具體步驟：

step1.延長交實截點1

說明：此處延長，因為延長後的交點（截點）易于發現；反觀延長，截點就不易于發現.

step2.過實截點1作平行線交棱、

于實截點2、實截點3；

說明：通過方式2找截點；原因：這道題通過方式2，交點（截點）更易标識

step3.順次連接Q、實截點2、、

、

實截點3圍成截面.

4.過正方體的中點、

作一個截面，使截面與底面所成的角為.則此截面的形狀為（ ）

.三角形或五邊形

.三角形或六邊形

.六邊形

.三角形或四邊形

情況一：當截面前傾（如圖4-1，點在之間）

具體步驟：

step1.過點作平行線交棱、

于實截點1、實截點2；（原因同例3.step2）

step2.延長與交于虛截點1

step3.連接實截點1與虛截點1交于實截點3

step4.延長與交于虛截點2

step5.連接實截點2與虛截點2交于實截點4

step6.順次連接實截點1、實截點3、、、實截點4、實截點2、實截點1，圍城截面六邊形.

情況二：當截面後仰（如圖4-2，點在正方體外部）

具體步驟：

step1.連接交棱于實截點1；（原因同例3.step1）

step2.順次連接、實截點3、，圍城截面三角形形.

綜合情況一、情況二，截面的形狀可能是六邊形、三角形，故選.

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