高一簡單幾何體的表面積與體積-tft每日頭條

高一簡單幾何體的表面積與體積

教育更新时间:2024-11-23 09:19:35

一道高中立體幾何題-求多面體的體積

在圖中， ABCD和PNCD都是邊長為2的正方形， PNCD垂直于ABCD，點M與AB在PBCD的同側，且有三角形PMN平行于ABCD， PMN=90，且PM=MN，求多面體ABCDPMN的體積。

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）1

解：多面體ABCDPMN顯然是由兩個多面體組合而成，一個是PAD-NBC組成的三棱柱，另一個是由點M和底面PABN形成的M-PABN所組成的椎體。

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）2

對于第一個多面體由于是三棱柱，其底面面積為2x2/2=2, 而棱柱的高為2，所以有體積

V1=Sh=2x2=4,

下面求第二個多面體棱錐的體積，這個棱錐的底面為PABN，其兩個邊可以求出為：

PN=2， BN=2√2

所以底面PABN的面積=2x2√2=4√2

下面求棱錐的高

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）3

如圖做MT垂直于PN，

在直角三角形MPN中斜邊的高MT=1，這點可以通過下圖求出，

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）4

根據下圖做MT垂直PN， TR垂直DC，取S是AB的中點，

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）5

因為三角形NCB全等于三角形TRS，所以∠CNB=∠RTS=45°但∠MTR=90°

所以∠MTS=90°-45°=45°

單獨把三角形MST畫出：

高一簡單幾何體的表面積與體積（一道高中立體幾何題-求多面體的體積）6

根據上圖可以求出四棱錐的高h=(√2)/2

因此四棱錐的體積V2=Sh/3=4√2x(√2)/2x1/3=4/3

所以組合多面體的體積V=V1 V2=4 4/3=16/3

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