拉馬努金恒等式實際揭示了，有理數可以用無理數表示，反過來，無理數可以用有理數來表示嗎？曆史上，有很多數學家，象歐拉，高斯等人對此有過深入研究，都給出肯定的回答，無理數可以用連分數來表示。

以√5為例，√5的整部(整數部分)是2，分部(小數部分)是√5-2，

√5=整部 分部

=2 (√5-2)

整部=2，分部=√5-2

其分部√5-2的倒數：

1/(√5-2)=√5 2

=整部 分部

=4 (√5-2)

整部=4，分部=√5-2

此時√5 2的分部=√5的分部，第一次出現循環，整部、分部分離過程結束。

這個過程在《幾何畫闆》中，用去尾函數trunc(x)來分離無理數的整部和分部很方便，下圖就是這個分離過程的截圖。

把上述過程形式化得

即√5可以用下圖中的連分數來表示：

√5用連分式來表示形式漂亮，但也有缺憾，占用篇幅大，書寫較繁瑣，因而常用中括号簡記為√5=[2,4,4,4...]=[2,4]，其中4表示以4為循環節。

再以√7為例，√7的整部(整數部分)是2，分部(小數部分)是√7-2，

√7=整部 分部

=2 (√7-2)

整部=2，分部=√7-2

分部(√7-2)的倒數：

1/(√7-2)=(√7 2)/3

=整部 分部

=1 (√7-1)/3

整部=1，分部=(√7-1)/3

其分部(√7-1)/3的倒數：

3/(√7-1)=(√7 1)/2

=整部 分部

=1 (√7-1)/2

整部=1，分部=(√7-1)/2

其分部(√7-1)/2的倒數：

2/(√7-1)=(√7 1)/3

=整部 分部

=1 (√7-2)/3

整部=1，分部=(√7-2)/3

分部=(√7-2)/3的倒數：

3/(√7-2)=√7 2=4 √7-2

=整部 分部

=4 (√7-2)

此時3/(√7-2)的分部=√7的分部，第一次出現循環，整部、分部分離過程結束。

把上述過程形式化得

即√7可以用下圖中的連分數來表示：

簡記為√7=[2,1,1,1,4,1,1,1,4...]=[2,1,1,1,4]，其中1,1,1,4表示以1,1,1,4為循環節。

以√n為例

• 将√n分離為整部z1和分部f1
• 求分部f1的倒數d1
• 将d1分離為整部z2和分部f2
• 求分部f2的倒數d2
• 将d2分離為整部z3和分部f3
• 重複上述過程，直到分部fn第一次和前面某分部fk相同（fn=fk）為止，結束過程分離。
• √n=[z1，z2，。。。zi，。。。，zn]

按上述操作，将√13化為連分數

1. 分離√13=3 (√13-3)，得z1=3,f1=√13-3；
2. d1=1/(√13-3)=(√13 3)/4;
3. 分離d1,得z2=1,f2=(√13-1)/4；
4. d2=4/(√13-1)=(√13 1)/3;
5. 分離d2,得z3=1,f3=(√13-2)/3；
6. d3=3/(√13-2)=(√13 2)/3;
7. 分離d3，得z4=1，f4=(√13-1)/3；
8. d4=3/(√13-1)=(√13 1)/4;
9. 分離d4，得z5=1，f5=(√13-3)/4；
10. d5=4/(√13-3)=√13 3=6 (√13-3);
11. 分離d5，得z6=6，f6=√13-3
12. 分部第一次出現重複f1=f6，分離過程結束。
13. √13=[3,1,1,1,1,6]

用《幾何畫闆》驗證：

即

按上述操作，将√101化為連分數

1. 分離√101=10 (√101-10)，得實部10,分部(√101-10)；
2. 分部的倒數1/(√101-10)=√101 10;
3. 分離√101 10,得實部20,分部√101-10；
4. 分部第一次出現重複，分離過程結束。
5. √101=[10,20]

即

漸進分數表示了向無理數逐漸逼近無理數的趨勢，所以漸近分數可以用來表示無理數的近似值。

如√3=[1,1,2]的前五個漸近分數：

A1=[1]=1,

A2=[1,1]=2,

A3=[1,1,2]=1 2/3≈1.667,

A4=[1,1,2,1]=1 3/4≈1.75,

A5=[1,1,2,1,2]=1 8/11≈1.73。

再如√101=[10,20]的前三個漸近分數：

A1=[10]=10,

A2=[10,20]=10 1/20=10.05,

A3=[10,20,20]=10 20/401≈10.04988。

1761年，德國數學家蘭伯特證明了圓周率pi是無理數，因而pi也可以用連分數來表示（計算過程太複雜，略）

pi=[3,7,15,1,292,1,1...]

pi的前四個漸近分數：

A1=3,

A2=22/7,

A3=333/106,

A4=355/113。

其中，A2,A3恰好分别是祖沖之計算出的“約率”和“密律”。

拉馬努金恒等式，揭示了用無理數表示有理數，用連分數表示無理數，說明無理數也可以用有理數來表示。因而有理數和無理數的種關系是辯證的統一，是符合辯證法的。

用連分數表示無理數的主要步驟：分離，求倒數。

無理數的漸近分數可以用來表示無理數的近似值，這也算用連分數表示無理數的用途之一吧。

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