#頭條創作挑戰賽#

最近老黃一直在持續推導不定積分的複雜公式，這次推導的是反正弦和反餘弦的幂的不定積分公式。

老黃在《老黃學高數》系列視頻第254講中推導了幂乘自然底數指數函數的不定積分公式：(1)∫x^n*e^(ax)dx=∑(i=0->n) (-1)^i*n!)/((n-i)!*a^(i 1))*x^(n-i)*e^(ax) C, a≠0；

第259講又由公式(1)推導出實指數幂乘自然對數的正整數幂的不定積分公式：

(2)∫x^a*(lnx)^ndx=∑(i=0->n)(-1)^i*n!)/((n-i)!*(a 1)^(i 1))*x^(a 1)*(lnx)^(n-i) C, a≠0或-1；

而第255講推導的幂乘餘弦函數積分公式：

(3)∫x^n*cosaxdx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))*x^(n-i)sin(ax iπ/2) C.

以及在第256講推導的幂乘正弦函數積分公式：

(4)∫x^n*sinaxdx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))x^(n-i)*cos(ax iπ/2) C.

能不能用來推導下面這兩個不定積分的公式呢？

(5)∫(arccosax)^ndx=? (6)∫(arcsinax)^ndx=?

先求∫arccosnaxdx, n∈N*, a≠0.

解：記t=arccosax, 則x=1/a*cost, dx=-1/a*sintdt.

原積分=-1/a*∫t^n*sintdt=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)t^(n-i)*cos(t iπ/2) C【運用了公式(4)】

=1/a*∑(i=0->n)n!/((n-i)!)*(arccosax)^(n-i)*cos(arccosax iπ/2) C.

同理∫(arcsinax)^ndx=1/a*∑(i=0->)n!/((n-i)!)*(arcsinax)^(n-i)*sin(arcsinax iπ/2) C.

這樣就推得了公式(5)和公式(6). 下面解兩道例題試試：

例1：求∫(arccosx)^3dx.

解：a=1, n=3,

原積分=∑(i=0->3)3!/((3-i)!)*(arccosax)^(3-i)*cos(arccosx iπ/2) C

=x(arccosx)^3-3(arccosx)^2*√(1-x^2 )-6xarccosx 6√(1-x^2 ) C.

再看例2，不用公式是絕對求不出來的。

例2：求∫(arcsin7x)^77dx.

解：a=7, n=77,

原積分=1/7*∑(i=0->77)77!/((77-i)!)(arcsin7x)^77-ixsin(arcsin7x iπ/2) C. 【不需要展開】

最後是一道練習，和例1非常相似。

練習：求∫(arcsinx)^3dx.

反正弦或反餘弦的幂的不定積分中，被積函數并不能乘以一般的幂函數，但卻可以乘以x，它們的結果會是另外的兩個積分公式。老黃會在下一篇作品中和大家分享。小夥伴們如果有追老黃的劇，現在應該也會自己推導了吧。

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