在結構力學分析中，我們會遇到大量有關應力和應變的定義。它們可能是第二類皮奧拉-基爾霍夫應力（Second Piola-Kirchhoff Stress） 或者對數應變（Logarithmic Strain）。在這篇文章中，我們将調查這些數量，讨論為什麼需要如此多不同定義的應力和應變，并說明作為有限元分析人員了解這些應力和應變的重要性。在許多教材中，都能找到張量表達式與變換的定義，您也可以通過本篇博文末尾的一些網站鍊接查看相關定義，本文中不再詳細給出。

在評估材料的力學數據時，會進行單軸拉伸試驗。拉伸試驗實際測量的是力與位移的關系曲線，但是為了使這些結果與試樣尺寸無關，通常用應力與應變 的關系來表示結果。如果變形足夠大，那麼将遇到的一個問題:我是根據樣本的原始橫截面積計算應力，還是根據當前的面積計算應力？答案是兩種定義都會被使用，它們分别被稱為名義應力 和真實應力。

第二個并不是很明顯的問題是：如何測量 相對伸長，即應變。将伸長長度與原始長度之間的比率定義為 工程應變，

。但是，對于較大的拉伸，更常見的是使用拉伸

，或者真實應變(對數應變）

。

真實應變在金屬試驗中更為常見，因為它适合許多塑性模型。對于可能具有很大伸長率的材料，例如橡膠，拉伸是一個更常見的參數。請注意，對于未變形的材料，拉伸為

。

為了在分析中利用測量數據，我們必須确保以下兩點:

1. 測試中如何定義應力和應變
2. 您的分析軟件期望它以什麼形式應用于特定的材料模型

單軸數據的轉換并不困難，但一定不能忘記。

大多數結構力學問題可以在這樣的假設下進行分析，即變形與結構的尺寸相比非常小，因此可以為未變形的幾何形狀建立平衡方程。在這種情況下，不同應力和應變測量之間沒有區别。如果位移、旋轉或應變變得足夠大，則必須考慮幾何非線性。這時，我們開始考慮區域單元實際上發生了變化，原始長度和變形長度之間存在差異，且變形過程中方向可能會發生變化。在數學上，有幾種等價的方法可以表示這種有限變形。

對于上面的單軸試驗，不同的表示非常簡單。然而在現實生活中，幾何圖形是三維的，具有多軸應力狀态，并且可能在空間中旋轉。即使我們隻是考慮同樣的拉伸試驗，保持應力應變固定在一定水平，然後旋轉試樣，也會出現問題。我們期待什麼樣的結果？應力和應變分量的值是否會發生變化？

最基本和最常用的應力量是柯西應力（Cauchy stress），也稱為真實應力。它是通過研究作用在變形體中無窮小面積單元上的力來定義的。力分量和該區域的法線在空間上都有固定的方向。這意味着，如果受力物體受到純旋轉，應力分量的實際值将會改變。最初的單軸應力狀态可以轉化為包含正應力和剪應力分量的全張量。在很多情況下，這既不是我們想要使用的，也不是我們所期望的。

例如，考慮纖維是具有一定取向的正交各向異性材料。更有可能的是，我們想看到纖維方向的應力，即使分量是旋轉的。第二類皮奧拉–基爾霍夫應力就具有這個屬性，它是沿着材料方向定義的。在下圖中，一根原本筆直的懸臂梁頂端受到純力矩的彎曲。圖中顯示了柯西應力的xx-分量(上圖)和第二類皮奧拉-基爾霍夫應力的xx分量(下圖)。由于應力是沿着梁的物理方向，柯西應力的xx-分量(與整體x-方向相關)随撓度減小。然而，第二類皮奧拉-基爾霍夫應力在整個梁上具有相同的全厚度分布，即使在變形結構中也是如此。

具有恒定彎矩的初始直梁的柯西應力和第二類皮奧拉-基爾霍夫應力。

我們可能會遇到的另一個應力度量是第一類皮奧拉-基爾霍夫應力（First Piola-Kirchhoff stress）。它是名義(或工程)應力的多軸概括。應力被定義為當前配置中作用在原始區域上的力。第一類皮奧拉-基爾霍夫張量是非對稱張量，因此不太适合使用。

有時我們也可能會遇到基爾霍夫應力（Kirchhoff stress）。基爾霍夫應力隻是随體積變化而變化的柯西應力。它幾乎沒有物理意義，但在一些數學和數值運算中卻很方便。

不幸的是，即使沒有旋轉，所有這些應力表示的實際值也不相同。就局部體積變化和拉伸而言，它們的比例都不同。下圖說明了這一點。在梁的固定端繪制了幾個應力的 xx- 分量，其中梁軸與 x- 軸重合。在梁的中心，應變和體積變化很小，所有值都相互接近。因此，對于大旋轉但應變小的情況，應力表示可以看作同一應力張量的純旋轉。

梁固定端的軸向應力分布。

如果我們想計算某個邊界上的合力或力矩，實際上隻有兩種可能的選擇:要麼在變形邊界上積分柯西應力，要麼在未變形構型中在同一邊界上積分第一類皮奧拉-基爾霍夫應力。在 COMSOL Multiphysics 軟件中，這些計算對應于在積分算子設置中選擇“空間坐标系”或“材料坐标系”。

在研究上述單軸拉伸試驗時，引入了三種不同的應變表示。可以将它們都推廣到多軸情況，但對于真正的應變來說，這并不是微不足道的。它必須通過主應變方向的表示來完成，因為這是求張量對數的唯一方法。對數應變的一般張量表示通常被稱為亨基應變（Hencky strain）。

變形還有許多其他可能的表現形式。然而，任何合理的表示都必須能夠表示無應變物體的剛性旋轉而不産生任何應變。工程應變在這裡失效，因此它不能用于一般的幾何非線性。代表大應變的一個常見選擇是格林-拉格朗日應變（Green-Lagrange strain）。它包含相對于原始構型的位移導數。因此，這些值代表材料方向的應變，類似于第二類皮奧拉-基爾霍夫應力的行為。這允許進行物理解釋，但必須認識到，即使對于單軸情況，格林-拉格朗日應變相對于位移也是強非線性的。如果一個物體被拉伸到原來長度的兩倍，格林-拉格朗日應變在拉伸方向上為 1.5。如果物體被壓縮到其長度的一半，應變将為 -0.375。

一個更基本的量是變形梯度

，它包含變形坐标相對于原始坐标的導數，

。變形梯度包含關于固體中局部變形的所有信息，并可用于形成許多其他應變量。例如，格林-拉格朗日應變為

。類似的應變張量是阿爾曼西應變張量（Almansi strain tensor）,

，但這是基于變形構型中坐标的導數。阿爾曼西應變張量将指向空間中固定的方向。

表示連續介質力學問題的一般方法是使用弱形式。在力學中，這被稱為虛功原理，它指出，在當前應力作用下，無窮小的應變變化所做的内功等于在載荷作用下相應的虛位移所做的外功。然後必須選擇應力和應變測量值，以使它們的乘積給出準确的能量密度。這種能量密度可能與未變形或變形的體積有關，這取決于内部虛功是在原始幾何結構上積分還是在變形幾何結構上積分。

下表總結了一些相應的共轭應力-應變對:

在 COMSOL Multiphysics 軟件的固體力學接口中，虛功原理總是用未變形的幾何構型來表示(“材料坐标系”)，然後使用格林-拉格朗日應變和第二類皮奧拉-基爾霍夫應力。這樣的公式有時被稱為“全拉格朗日”公式。相反，基于當前構型中的量的公式被稱為“更新的拉格朗日”公式。

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