第一單元 分數乘法

一、分數乘法意義和計算

（一）分數乘法的意義：

1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。

都是求幾個相同加數的和的簡便運算。

2、分數乘分數是求一個數的幾分之幾是多少。

（二）、分數乘法的計算法則：

1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。

2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

注意

（1）分數的化簡：分子、分母同時除以它們的最大公因數。

（2）關于分數乘法的計算：可在乘的過程中約分，也可将積的分子分母約分，提倡在計算過程中約分，這樣簡便。

（3）當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。

（三）、規律：（乘法中比較大小時）

一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。

一個數（0除外）乘小于1的數（0除外），積小于這個數。

一個數（0除外）乘1，積等于這個數。

（四）、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。

（五）、整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣适用。

乘法交換律: a×b=b×a

乘法結合律: a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律:a×(b c)=ab ac 或a×(b-c)=ab-ac

二、分數乘法的解決問題

（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）

1、找單位“1”： “占”、“是”、“比”的後面，“的”前面

2、求一個數的幾倍是多少； 求一個數的幾分之幾是多少。用乘法

分率對應量=單位“1”的量×對應分率

第二單元 位置與方向

要比較準确的确定一個物體的位置，“方向”和“距離”這兩個條件缺一不可，一般通過定方向、測角度、量距離、定位置這幾個基本步驟完成。

畫圖：标角度、标距離、标名字

第三單元 分數除法

一、倒數

1、倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。

(互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。)

2、求倒數的方法：

（1）、求分數的倒數：交換分子分母的位置。

（2）、求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。

（3）、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。

（4）、求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。

3、1的倒數是1； 0沒有倒數。

4、真分數的倒數大于1；假分數（1除外）的倒數小于1；帶分數的倒數小于1。

二、分數除法

1、分數除法的意義：

分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。

2、分數除法的計算法則：　除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。

3、規律（分數除法比較大小時）：

（1）當除數大于1，商小于被除數；

（2）當除數小于1（不等于0），商大于被除數；

（3）當除數等于1，商等于被除數。

4、分數混合運算順序：

（1）同級運算（隻有乘除或隻有加減）要按從左往右順序計算。

（2）先算乘、除後算加、減，有括号的，要先算括号裡面的

（3）一個算式裡，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号裡面的， 再算中括号裡面的。

（4）能用運算律的要用運算律。

三、分數除法解決問題

1、已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。

①用方程解應用題步驟：

解。（寫“解”字，打冒号。）找。（找等量關系) 設。（設未知數，根據題目設未知數，問什麼設什麼。）

列。（根據等量關系列方程）解。（解方程）答。（寫答數）

②用算術方法解答：已乘未除，多加少減。

單位“1”的量=對應量÷對應分率

2、求一個數是另一個數的幾分之幾： 一個數÷另一個數

3、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾： 兩個數的相差量÷單位“1”的量

第四單元比

1、比：兩個數相除也叫兩個數的比，比表示的是兩個數相除的關系。

2、比式中，比号（∶）前面的數叫前項，比号後面的項叫做後項，比号相當于除号，比的前項除以後項的商叫做比值。比值不帶單位。

3、比可以用分數表示，寫成分數的形式，讀作幾比幾。

4、區分比和比值：比值是一個數，通常用分數表示，也可以是整數、小數。

比是一個式子，表示兩個數的關系，可以寫成比，也可以寫成分數的形式。

5、比的基本性質：比的前項和後項同時乘以或除以相同的數（0除外），比值不變。

6、化簡比：（最簡整數比）

（1）整數比化簡比：用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。

（2）分數比化簡比：兩個分數的比，用前項後項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。也可以求出比值再寫成比的形式。

（3）小數比化簡比：兩個小數的比，向右移動小數點的位置，也是先化成整數比。

7、求比值：把比号寫成除号再計算，結果是一個數（或分數），相當于商，不是比。

8、、比和除法、分數的區别：

除法：被除數除号（÷） 除數（不能為0） 商不變性質 除法是一種運算

分數：分子分數線（—） 分母（不能為0） 分數的基本性質 分數是一個數

比：前項比号（∶） 後項（不能為0） 比的基本性質 比表示兩個數的關系

商不變性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

分數的基本性質：分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

分數除法和比的應用

1、已知單位“1”的量用乘法。

2、求未知單位“1”的量用除法。

3、分數應用題基本數量關系（把分數看成比）

（1）甲是乙的幾分之幾？

甲＝乙×幾分之幾 乙＝甲÷幾分之幾 幾分之幾＝甲÷乙

（2）甲比乙多（少）幾分之幾？

4、按比例分配：把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。

5、畫線段圖：

（1）找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，标出已知和未知。

（2）分析數量關系。（3）找等量關系。（4）列方程。

兩個量的關系畫兩條線段圖，部分和整體的關系畫一條線段圖。

第五單元圓

一、圓的特征

1、圓：圓是一種平面圖形，指的是平面中到一個定點距離為定值的所有點的集合。

2、圓的特征：易滾動。

3、圓心O：圓中心的點叫做圓心．圓心一般用字母O表示。

圓多次對折之後，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心确定圓的位置。

半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓裡，有無數條半徑，且所有的半徑都相等。半徑确定圓的大小。

直徑d:通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓裡，有無數條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓内最長的線段。

同圓或等圓内直徑是半徑的2倍：d=2r 或 r=d÷2

4、等圓：半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。

（兩個圓的半徑、直徑、周長、面積四個量中隻要有一個相等，它們就是等圓。等圓的這四個量都相等。）

同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

5、圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線叫做圓的對稱軸。

有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二條對稱軸的圖形：長方形

有三條對稱軸的圖形：等邊三角形

有四條對稱軸的圖形：正方形

有無條對稱軸的圖形：圓，圓環

6、畫圓

（1）圓規兩腳間的距離是圓的半徑。（2）畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉一周。

二、圓的周長：

圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，周長用字母C表示。

1、圓的周長總是直徑的三倍多一些。

2、圓周率：圓的周長與直徑的比值是一個固定值，叫做圓周率，用字母π表示。

即：圓周率（π） = 周長÷直徑≈3.14

所以,圓的周長(c)=直徑(d)×圓周率(π)

周長公式：c=πd, c=2πr

圓周率π是一個無限不循環小數，3.14是近似值。

3、周長的變化的規律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數與半徑、直徑擴大的倍數相同。

4、半圓周長=圓周長一半 直徑= πr d

三、圓的面積s

1、圓面積公式的推導

如圖把一個圓沿直徑等分成若幹份，剪開拼成長方形，份數越多拼成的圖像越接近長方形。

圓的半徑=長方形的寬

圓的周長的一半=長方形的長

長方形面積=長×寬

所以：圓的面積=圓的周長的一半（πr）×圓的半徑（r）

S圓 =πr×r=πr²

2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。

周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，籃子、盤子做成圓形。

3、圓面積的變化的規律：半徑擴大多少倍,直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數是半徑、直徑擴大的倍數的平方倍。

4、環形面積 =大圓–小圓=πR²-πr²

扇形面積=πr²×n÷360（n表示扇形圓心角的度數）

5、跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。

一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米。

一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb厘米。

6、任意一個正方形的内切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π。

第六單元百分數（一）

一、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數又叫百分比或百分率，百分數不能帶單位。

1、百分數和分數的區别和

（1）都可以用來表示兩個量的倍比關系。

（2）區别：意義不同：百分數隻表示倍比關系，不表示具體數量，所以不能帶單位。分數不僅表示倍比關系，還能帶單位表示具體數量。百分數的分子可以是小數，分數的分子隻可以是整數。

注意：百分數在生活中應用廣泛，所涉及問題基本和分數問題相同，分母是100的分數并不是百分數，必須把分母寫成“%”才是百分數，

一般來講，出勤率、成活率、合格率、正确率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70%、80%，出油率在30%、40%。

2、小數、分數、百分數之間的互化

（1）百分數化小數：去掉“%”，小數點向左移動兩位。

（2）小數化百分數：小數點向右移動兩位，添上“%”。

（3）百分數化分數：先把百分數寫成分母是100的分數，然後再化簡成最簡分數。

（4）分數化百分數：分子除以分母得到小數，（除不盡的保留三位小數）然後化成百分數。

（5）小數化分數：把小數成分母是10、100、1000等的分數再化簡。

（6）分數化小數：分子除以分母。

二、百分數應用題

1、求常見的百分率,如：達标率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等求百分率就是求一個數是另一個數的百分之幾。

2、求一個數比另一個數多（或少）百分之幾，實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾：（甲-乙）÷乙

求乙比甲少百分之幾：（甲-乙）÷甲

3、求一個數的百分之幾是多少。一個數（單位“1”）×百分率

4、已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

部分量÷百分率=一個數（單位“1”）

5、百分數應用題型分類

（1）求甲是乙的百分之幾——（甲÷乙）×100%=百分之幾

（2）求甲比乙多百分之幾——（甲-乙）÷乙×100%

（3）求甲比乙少百分之幾——（乙-甲）÷乙×100%

第七單元扇形統計圖的意義

1、扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓内各個扇形面積表示各部分數量同總數之間關系，也就是各部分數量占總數的百分比，因此也叫百分比圖。

2、常用統計圖的優點：

（1）條形統計圖直觀顯示每個數量的多少。

（2）折線統計圖不僅直觀顯示數量的增減變化，還可清晰看出各個數量的多少。

（3）扇形統計圖直觀顯示部分和總量的關系。

第八單元數學廣角--數與形

2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（110）

規律：從2開始的n個連續偶數的和等于n×(n＋1)。

10×(10＋1)＝10×11＝110

從1開始的連續n個奇數的和正好是n的平方。

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