我們生活在三維空間中，在學習數學物理的時候就已經對此有所了解了。比如做三維空間的題目時需要做的是三條輔助線，這三條輔助線分别代表了各個維度，也就是我們熟知的長寬高。除了生活的三維空間，科學家們還想到了平面，二維空間甚至是四維空間。

三維空間

而為了讓大家更加了解二維空間和四維空間，科學家們想出了莫比烏斯環和克萊因瓶來解釋它們，讓人們更加具體可感地了解不同空間的狀态。但是為什麼能夠造出莫比烏斯環而造不出來克萊因瓶呢？要想知道這個問題，就首先要了解空間的各個維度之間的關系，以及了解拓撲學的概念。

克萊因瓶

接下來，本文就将從以下幾個方面來回答這些問題：第一，空間的各個維度代表了什麼；第二介紹莫比烏斯環與克萊因瓶；第三，介紹拓撲學；第五，解析科學家們無法造成克萊因瓶的原因。

現在要談論的就是第一個問題：維度，其實就是空間，可以看做是一個容器，在這個容器裡面，分為了體積和形态兩個方面。科學家們已經認識到這個世界分為11個維度，但是我們更多的還是了解1到4維度的物體。

維度就是空間

在了解二維和三維的時候，人們經常拿日常中随時可見的小螞蟻來舉例子。因為小螞蟻和人類的視野不同，在它們看來這個世界就是點和線組成的。它們的生存依靠的不是視野而是氣味和觸覺，在它們微弱的視線中，點和線構成了這個世界。也因此有人認為可以将螞蟻看成是二維的動物。

那麼因此可見，二維的世界就是點和線。在我們現在所了解的維度中，分為0維度，1維，2維，3維和4維。

二維空間的代表——螞蟻

0維就是一個點，它們的運動是靜止的，可以用一個頂點來表示，大衆普遍認為這就是奇點。1維就是一條線，它是0維的運動，可以表示為兩個頂點和一條線。2維是一個面，是1維的運動，表示為4個頂點，4條線和1個面。3維是一個體，相當于2維的運動，有8個頂點，12條線，6個面。最後的4維是一個超體，它擁有着3維的運動，16個頂點，32條線，24個面，8個體和1個超體。

人在模拟四維空間裡

這樣的描述或許有些抽象，在我們日常生活處處充滿了三維的事物，對于三維和可以畫在紙上的平面都比較好理解。那麼二維和四維該怎麼表示呢？科學家們因此研究出來了莫比烏斯環和克萊因瓶來分别表示二維和四維空間。

接下裡，我們分析第二個方面：或許你在高中數學課上面看到過數學老師用紙條做出來的簡易版莫比烏斯環，其實它就是可以用一條紙條将它扭轉180°之後，将紙條的兩頭粘粘起來，這就形成了莫比烏斯環。

莫比烏斯環

在這個環上，你無法分清楚正反面，因為無論哪一面，都既可以看做是正面，也可以看做是反面。這就是莫比烏斯環的魅力。更為神奇的是，将一隻小螞蟻放在這個環上讓它爬，我們可以發現，小螞蟻不需要返回就能将這個環的兩面都走完。而這個環是來自十九世紀的德國數學家莫比烏斯和另一位數學家一起發明和設計的。

德國數學家莫比烏斯

莫比烏斯環在我們生活中被看做是循環的代表，就像在垃圾桶上面印着的圖案，也是衍生之後的莫比烏斯環的象征。那麼，克萊因瓶又是哪個維度的代表呢？

現在來到了第三個方面的問題：克萊因瓶表示的就是四維的空間。比我們生活的三維空間多一個維度，它在數學上叫做标準歐幾裡得空間。人們常常将标準歐幾裡得空間和愛因斯坦提到過的四維空間相混淆，但是兩者是不盡相同的。

克萊因瓶

四維空間除了我們熟知的長寬高這三個維度之外，還多了一個時間維度。由于我們現在對于更高空間的認識的不足，所以用我們看待三維世界的眼光來看待四維空間，發生的情況就像小螞蟻用二維點和線的眼光來看待三維空間一樣，會出現空間的交叉和重疊。

空間交叉重疊

在科學家用電腦設計出來的克萊因瓶的造型中，可以觀察得知，它看起來就像是一個奇怪的玻璃瓶子。這個瓶子是一個封閉的空間，瓶子的底部和頂部連接在一起，最終歪歪扭扭地延伸進瓶子的内部。

就像莫比烏斯環分不清楚正面和反面一樣，這個克萊因瓶是分不清楚内部和外部的，看起來的内部換個角度就變成了外部，而看起來的外部換個角度又能看成是内部。

奇怪的玻璃瓶子裝不滿

還有科學家解釋到，如果把東西往克萊因瓶裡面塞，那麼克萊因瓶将會永遠不被裝滿，這就是克萊因瓶的奇妙之處。那麼，為何人們能夠簡單地造出莫比烏斯環而造不出克萊因瓶呢？

接下來是第四個方面的問題：我們現在生活的環境是三維的空間，在這個空間裡面，能夠表示二維的事物，也能畫出平面的東西。但是想要更往上一個維度，那就很難來表示了。

生活在三維的房子裡

因為這個維度的所有東西都是三維，想要在一個三維的世界裡面生産一個四維的事物是不可能的。也就是說，在我們現實的生活中，設計不出來克萊因瓶。

在一些精品店裡面會賣很多物品的擺件，在那裡賣的克萊因瓶又是怎麼一回事呢？根據科學家的解釋和對于克萊因瓶的定義，在那些店裡面賣的克萊因瓶都是假的虛構的，并不是真正意義上的克萊因瓶。

都是赝品

因為在生産中克萊因瓶的瓶頸和瓶子的面壁一定會相交或是相連，這樣才能将瓶子做出來。而這樣的生産打破了定義中連續性不可中斷的特點，這樣的瓶子失去了連續性和單側性，所以是假貨。

而不論是莫比烏斯環還是克萊因瓶，這些都表示的是不同維度的物體。這些幾何方面的學科就是接下來我們要解釋的拓撲學。曾經是研究數學問題的，是數學方面的一個分支，分析的範圍是物體在連續變形下的性質的不變性。而現在拓撲學大多用于研究物理方面的問題，在上世紀的五十年代引用到了物理研究上。在拓撲學方面，我們對更多的問題有了更加深入地了解和認識：例如，拓撲學在超導方面的狀态的變化和利用拓撲學将物質的狀态進行分類。

拓撲學

在超導方面的狀态變化就是當發現了第二類的導體之後，運用拓撲學來發現其表現形式為磁渦旋，這類的磁渦旋呈現出拓撲缺陷的狀态。為此，物理學家根據這樣的新理論發明了超導環感應強烈的磁強針。

而利用拓撲學将物質進行分類便是将拓撲學運用于新的絕緣子的分離。新型的絕緣子和已知的絕緣子很像，但是它的表面非常光滑。用拓撲學的知識就可以很容易地區分出來，并且還能測量出表面的霍爾電導數值。

絕緣子

可見，拓撲學在各類新的研究上面都發揮了很重大的作用，可以突破更多方面的研究成果。而拓撲學也屬于一個新的領域，人們在這個新的領域還将會發現更多的新知識，能将其運用到更多方面來幫助我們生活。

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