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無窮級數求和等于多少

圖文更新时间:2025-01-26 02:22:43

前面叙述了泰勒級數定理的直觀原理，根據泰勒公式可以很容易得到Inx的泰勒級數展開式，如下In2的級數

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）1

我們将上述級數的順序做下調整：

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）2

結合律得到：

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）3

整理得到

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）4

打亂次序最後得：

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）5

很明顯第二行級數是第一行的1/2倍所以得到一個結果：1=2

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）6

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）7

上述結論肯定有一個是錯誤，仔細檢查又沒有問題，問題在于級數的順序排列

不同會導緻不一樣的結果，這和有限數列完全不同，所以

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）8

我們來分析，首先在前一篇關于歐拉乘積公式的文章裡有得出如下結論：兩個級數都是發散的

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）9

所以文章開頭的級數就變成了：

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）10

我們知道收斂的級數是不斷的趨近于某個值，對于無窮大減無窮大的收斂級數，觀察得到是從兩邊向中間靠攏趨近于某個值。

因為同一個收斂級數排列順序不同會産生不一樣的結果，所以可以得到任何你想要的數值：

如圖級數按如下方排列，會發現接近π

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）11

在1/151時總和偏離圓周率時，我們在添加負的項

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）12

就這樣如果偏大，添加負項，減小了增加正的項。這樣就會趨近于π

無窮級數求和等于多少（級數揭秘:無窮大減無窮大等于多少）13

你可以用無數種排列方式來得到π，上述隻是其中一種。

上述的讨論隻是針對無∞-∞ 收斂的級數，而且數值是從兩邊向級數和靠近的形式。那對于發散級數或其他收斂級數也會存在其他可能。

1，無論你怎麼排列，都不可能得到你想要的級數和

2，無論你怎麼排列，都隻能是一個定值。

3，無論你怎麼排列，級數和的結果都不一樣。

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