學霸小明在參加數學讨論會時，突然被以下三個問題難住了，

有個函數圖像，你明明知道存在，也知道大概什麼樣子，就是畫不出來？

有個函數圖像，是周期函數，但不是常值函數，卻沒有最小正周期？

有個函數圖像，處處不連續，處處不可導，任何區間不可求定積分？

這三個問題的答案，你都知道嗎？

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其實答案是同一個函數。讀完接下來關于奇妙函數的介紹，你就明白了。

數學中有很多函數性質獨特，圖像令人歎為觀止。選取有代表性的幾個，逐一進行解釋。

一、心形曲線。函數的圖形是心形，非常浪漫。據說，經常被理科生拿來向心儀的女孩表白。這類曲線的函數解析式或者曲線方程有多種表達方法。

1、二次曲線型。類似于x^2 –|x|y y^2 = 4的。可在|x|y前加一個小于2的系數，

如x2 –1.3|x|y y2 = 4，還可使圖形上部更凸一些。

當然，還可以繼續變形，方程改成一個更加形象的不等式，17 x^2 – 16|x|y 17 y^2 < 225 。不等式表達的陰影部分就是心形。

值得一提的是，二次函數型的心形曲線，在今年北京高考中成為了一道解答題。考試以來，一直被人津津樂道，具體考題如下圖，

2、笛卡爾提出的極坐标方程r=a(1-sinθ）。a可以任意取值，最簡單的心形表達式：r = 1 – sinθ。

有個凄美的傳說，笛卡爾曾經給公主寫過一封信，信的内容就是這個方程，公主一看到信就明白了，發生了師生戀。隻不過，最後，笛卡爾沒得到國王的祝福，結局很悲慘。

3、還有一種比較簡潔的表達，極坐标下的r=arccos(sinθ)。可以說是極坐标下最簡潔的表達式了，利用反餘弦和正弦的複合即可。函數圖像如下：

4、心形圖還可繼續升級到三維立體中。三維立體坐标系下的方程為：(x^2 9y^2/4 z^2-1)^3-x^2z^3-9y^2z^3/80=0。在三維立體坐标系下，心形圖更加形象、逼真。

三維坐标系下的曲線方程

二、分手函數。與心形函數相對應，在心形曲線基礎上衍生出來的，解析式也是在第一種心形解析式上加入了一部分，使得心形圖中出現裂痕。據說，可以作為理科生分手的信号。曲線方程為：17 x^2 – 16|x|y 17 y^2 150/|5 x sin(5 y)| < 225。

三、黃金螺旋線，又稱斐波那契螺旋線。以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然後在正方形裡面畫一個 90 度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。斐波那契數列的遞推公式為F（n）n=F（n-1） F（n-2）。通過數學證明，可以得出，按照菲波那切數列畫出的曲線，第二個圓的半徑與前一個圓的半徑之比是黃金分割數，在藝術領域極具審美價值，因而又稱為，黃金螺旋線。

黃金螺旋線有很多應用，蘋果的LOGO就是一個典型例子。完全利用黃金螺旋線中的圓就可以拼成最後的蘋果标志。

更詳細的畫法

四、蝴蝶曲線。

極坐标方程為：

參數方程為：

取e約等于2.7，可得函數圖像如下：

五、雙螺旋曲線。曲線方程和圖像，如下圖。

六、太極曲線。通過以下方程，可以得出，

七、狄利克雷函數。這個函數就是開篇提到的那個答案，這個函數圖像算不上多麼美麗，但是性質非常奇妙，而且解析式非常簡單，隻要學過實數都能看懂。當x是有理數時，函數值取1；當x取無理數時，函數值取0。解析式如下圖，是個分段函數。

但是，如果你稍微琢磨一下，就會發現，怎麼畫圖都不對，無理數和有理數之間有間隔嗎？比如√2相鄰的是哪個數字呢？細思極恐。真實的圖像，可以說是，隻可意會不可言傳。通過嚴格數學定理可知，圖像性質上表現為處處間斷，處處不可導，無法求定積分，明明感覺知道它的樣子，卻又無法畫出來。下圖所畫的圖像，當然不是準确的，隻是感覺上的樣子。

狄利克雷是數學史上第一位重視概念、并有意識地“以概念代替直覺”的人。狄利克雷函數提出，标志着數學從研究“算”轉變到了對“抽象問題”的研究上。

美麗的世界，奇妙的函數！

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