許多同學學習線性代數這門課，都是從行列式開始的。半本教材學完了，還在懵逼中：這線性代數究竟講的是啥？

不怪同學們不努力，隻因教材有問題，行列式本身太過抽象，作為線性代數入門第一課實在有些不合适。

那麼如何讓線性代數這門課形象起來呢？讓我們從一個最簡單的二元一次方程組開始，由它的幾何意義，切入線性代數這門課。

看下面的二元一次方程組：

答案一目了然，x=2，y=1。我們知道，求解一個二元一次方程組，除了代數運算外，用函數曲線的方法也可以，畫圖即可求解。

那麼，我們把這個二元一次方程組變換一下形式：

在平面坐标系中（二維平面），畫出兩條函數曲線（當然很明顯這是兩條“直線”），如下圖：

從圖中可以看出，二元一次方程組的解，與兩條函數直線的交點是等價的。

我們将這個結論拓展一下，從二元一次方程組拓展到三元一次、四元一次直至N元一次方程組。如果它們各自有解，就可以說，在三維、四維直至N維坐标系中，方程組中全部方程所代表的函數直線，在相應的坐标系内有唯一交點。

但是，問題來了，不管它們有沒有解，一旦未知元數超過3個，圖畫不出來啊，誰也沒見過四維空間長啥樣不是？而且，方程組中的一個方程式并不隻對應一條函數直線，也可能是無窮多條直線。

另外，求解N元一次方程組，代數運算更不現實，計算量得多大呀。

好啦，到這裡，我們已經站在線性代數的起點上了，那就是如何處理上述函數直線的關系。

該如何處理呢？答案是------不處理！因為我們要重塑上述的函數圖形。

在重塑上述的函數圖形之前，我們先重塑上面的二元一次方程組，将其變成下面這樣的形式：

把未知數X的系數單獨擇出來，它就形成了一個2X2的矩陣（行數與列數相等的也叫方陣）：

這個矩陣由兩個二維向量（1，1）和（1，-1）組成。我們把它們當作平面坐标系中的兩個坐标，再由原點出發，畫出兩條向量線段，如下圖：

而未知數和等号右側的結果，既是向量，也是矩陣：

我們也把它們當作坐标，畫出相應的向量線段。當然，因為方程待解，所以解向量的線段暫時畫不出來。

我們回頭來看變形後的二元一次方程組：

等号左側的部分，是由兩個向量相乘得來的，也叫向量的内積。系數向量和解向量内積的結果，就是等号右側的向量對應線段的端點坐标。

那麼，求解這個二元一次方程組，就變成了一個畫線遊戲。根據上述的關系，給定三條向量線段，能不能畫出第四條向量（解向量）線段？

答案是，我畫不出來。為啥呢？因為解向量與給定向量的夾角是不知道的，求這兩個夾角比解方程組難多了。

不過，沒關系，我們有新發現。兩條向量線段的夾角，有兩種特殊情況，一個是0度，兩條線段共線，一個是90度，兩條線段垂直。

重點看一下夾角為90度的情況，比如（3，0）與（0，2），這一組向量的夾角為90度，而它們的内積為3*0 0*2=0，内積為零！

重要的事情說三遍啊，内積為零！内積為零！内積為零！

線性代數的大門就此開啟了一道縫隙！

讓我們再次回頭看一下變形後的二元一次方程組：

再一次将它變形，變成下面的形式：

原來的系數矩陣就由2X2變成了2X3，我們把它稱為增廣矩陣：

然後，解向量變成了（x1，x2，-1），等号右側變成了（0，0，0），坐标系由二維變成了三維。維度是增加了，但畫線的難度卻大大降低了。

重點來了。注意看，在最新形式的方程組中，向量的内積都是0！既然内積為0，那向量的夾角不就是90度嗎？

于是，求解上述二元一次方程組，就變成新的畫線遊戲。在三維坐标系中，給定兩條向量線段，畫出另一條向量線段與給定的兩條向量線段垂直（正交）。因為兩線共面，在三維坐标系内，一定能畫出一條直線過原點與這個平面垂直。

所求的向量線段，如下圖：

這樣一來，求解的方法就有了，把系數增廣矩陣化成行最簡形：

相當于方程組中的兩兩方程式通過加減法化簡成最簡單的形式，然後求解就可以了。

從上述内容，我們可以得出一個結論，對于多元一次方程來說，求解不是重點，分析它有沒有解、有多少解，是不是非零解才是重點。那麼，依照這個結論，線性代數的重點也不是解多元方程，而是分析多維空間裡的若幹向量之間的關系。

可以說，線性代數所研究的對象是非常形象的，隻不過我們不是高維生物，高維空間的形象我們無法描繪，也無從想象，隻能通過線性代數來做抽象表達。

而在上面的三維坐标圖中，線性代數的幾個重要概念：線性相關與線性無關，矩陣的秩與向量組的秩，方程組相容或不相容，都能找到其相應的幾何含義。

給定若幹向量線段，能否畫出另一條向量線段與它們全都垂直（正交）？

能，對應線性相關；不能，對應線性無關。

如果不能，減掉幾個維度和相應的向量線段後能不能？對應矩陣的秩和向量組的秩。

給定的向量線段，有沒有投影共線的情況，對應方程組相容或不相容。

當然這些概念我們還沒講到，以上内容屬于提前劇透，詳細内容在後面的文章裡我們再講。

最後我們舉一個方程組無解的例子，比如下面的方程組：

控制住啊，别笑。一眼就能看出它無解了是吧，那再看下面的方程組，它有沒有解，能一眼看出來嗎？

其實，第一個方程組是由第二個方程組化簡來的（3式和2式分别減2倍和3倍的1式），兩個方程組是等價的，研究哪個都一樣。

把第一個方程組按增廣矩陣的方式寫出來，有：

其中的系數增廣矩陣，化成行最簡形：

如果按系數增廣矩陣畫向量線段，那向量（5，4，1）和向量（5，4，-1）在XOY平面上的投影是同一條線。而按其最簡形畫向量線段，其中一條變成了（0，0，-2），它跟Z軸的負半軸重合，如下圖：

再看解向量（x1，x2，-1），它是斜穿Z=-1平面的。而與向量（0，0，-2）垂直的直線全都平行于Z=-1平面，所以向量（x1，x2，-1）不可能與向量（0，0，-2）垂直。因此，方程組無解。

對應到線性代數裡，是系數矩陣的秩與系數增廣矩陣的秩不相等，所以無解。

總結一下重點，記住向量的内積，它是線性代數的認知起點。所有的知識點都與向量内積的夾角有關，包括行列式。

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