淺談數學史上第二次危機? 第一次數學危機 “無理數的産生”，今天小編就來說說關于淺談數學史上第二次危機?下面更多詳細答案一起來看看吧!

淺談數學史上第二次危機

第一次數學危機 “無理數的産生”

第一次危機發生在公元前 580～568 年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立

了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知

識保密，所有發明創造都歸于學派領袖。

畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數” ，這個數就是整數，他們确定數學的目的是

企圖通過數的奧秘來探索宇宙的永恒真理， 并且認為宇宙間的一切現象都能歸結

為整數或整數之比。後來這個學派發現了畢達哥拉斯學定理（勾股定理） ，他們

認為這是一件很了不起的事， 然而了不起的事後面還有更了不起的事。 畢達哥拉

斯學派的希帕索斯從畢達哥拉斯定理出發， 發現邊長為 1 的正方形對角線不能用

整數來表示， 這就産生了這個無理數。 這無疑對“萬物皆數” 産生了巨大的沖擊，

由此引發了第一次數學危機。

第二次數學危機“微積分工具”

18 世紀，微分法和積分法在生産和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分

數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。 但是不管是牛頓， 還是萊布尼茨所創

立的微積分理論都是不嚴格的。

危機的起源

因為牛頓和萊布尼茨的微積分理論是建立在無窮小分析之上的， 但他們對作為

基本概念的無窮小量的理解與應用是混亂的。 1734 年，英國哲學家、大主教貝

克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》 ，矛頭指向微積分的基

礎——無窮小的問題， 提出了所謂貝克萊悖論。 籠統的說， 貝克萊悖論可以表述

為“無窮小量究竟是否為 0”的問題。這一問題的提出在當時的數學界引起了一

定的混亂，由此導緻了第二次數學危機的産生。

第三次數學危機 “羅素悖論”

到 19 世紀末，康托爾的集合論已經得到數學家的承認，集合論也成功地應用

到其他的數學分支。 集合論是數學的基礎， 由于集合論的使用， 數學似乎已經達

到了無懈可擊的地步。 但是，正當數學家們熟練地應用集合論時， 數學帝國又爆

發了一次危機。

康托爾集合論的創造性成果為數學提供了廣泛的理論基礎，所以在 1900 年巴

黎國際數學會議上，法國大數學家龐加萊宣稱： “數學的嚴格性，看來直到今天

才可以說實現了。”但事隔兩年後，卻傳出一個驚人的消息：集合論的概念本身

出現了矛盾。 這就是英國數學家羅素提出的著名的悖論， 羅素悖論的内容用一句

話表述就是：所有不以自己為元素的集合組成一個集合，記為 A；則有集合 A包

含 A等價于集何 A不包含 A這樣的悖理 。羅素悖論一提出就在當時的數學界和

邏輯學界引起了極大的震動。 這一悖論引起的巨大反響則導緻了數學史上的第三

次危機。

曆史上的三次數學危機，給數學界帶來了極大的麻煩，危機的産生使數學家

認識到了現有理論的缺陷， 科學中悖論的産生常常預示着人類的認識将進入一個

新階段，所以悖論是科學發展的産物，又是科學發展動力之一。希帕索斯悖論、

貝克萊悖論以及羅素悖論分别引發了數學發展史上的三次危機。 然而，這三次危

機又不同程度的促進了數學的發展。

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