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我們隻需要編制一個對數表，就可以簡化實際中遇到的任何複雜運算，比如我們需要計算1.1234^1.6789的值（當然，現在有計算器，我們無需去做這種無意義的存計算）；常規方法很難處理，如果我們有指數表的話，隻需要查詢log1.1234=0.091491，計算log1.1234^1.6789=1.6789log1.1234=0.153604；

10為底的對數表

然後用對數表，反向查詢0.153604對應對數值，那麼1.4243就是我們需要的結果，即1.1234^1.6789=1.4243.

這樣就把十分複雜的指數運算，轉化成相對簡單的乘法運算，如果你還覺得複雜，你甚至可以進一步把乘法轉化成加法運算。

數學家進一步的研究，發現該對數表有兩個特點：

1、 我們運算的結果不依賴于對數表所取底數值，但是底數值的選取，決定了對數表的編制難度；

2、 任何指數和乘方運算，都可以轉化成0～1之間的對數運算，所以我們需要6位精度的運算，隻需要編制0.000001～0.999999的對數表即可。

數學家首先想到的，當然就是10為底的對數，但這會遇到什麼問題呢？看下表：

10為底的對數表

以10為底，在沒有計算器的年代編制對數表，計算的a值好像并不簡單，涉及10的非整數次方。

不過數學家有辦法解決，利用指數運算的性質，如果我們使用10^10000作為底數，就不會出現非整數次方了，如下表：

10^10000為底的對數表

但另外的問題出現了，随着對數值b的增大，我們得到a的值将以指數增加，相鄰值間的距離太大，比如b=0.2017時，a的值将達到10^2017，這是很糟糕的結果。

那有沒有處理辦法呢？

顯然對于底數為m^n，n取得越大，越利于後面的計算，要使得計算結果不要太大，就要減小m的取值，但m不能無限小，m要在1附近，這樣以（m^n）作為底數，才能使得對數值在合适範圍内，比如底數取0.999999或者1.000001。

那麼對底數的選取，就轉化成（1 m）^n，進一步研究還能發現，如果m和n互為倒數，可以進一步簡化計算，那麼對底數的選取，就成了這種形式：

對數底的優化形式

其中n取得越大越，對數表的精度越高，比如計算底數為（1 0.00001）^10000值為0.2017的對數，就成了計算1.00001^2017的值，如果你記得指數運算的一個技巧的話，你可以很快知道，這個值大約為1 0.0001*2017=1.2017,實際上這個值是1.2235,兩者相對誤差是2%，我們僅憑心算就得到了如此高的精度。

指數特殊形式運算技巧

而對于算法學家來說，每增加一個誤差項就可以進一步提高精度，直到滿足自己需求為止，看來我們的路是走對了。

看到這裡，大家是不是看出了自然對數的影子！

如果有人覺得，這時候提出自然對數應該是理所當然的，那麼他肯定是把中學生的"理所當然"和嬰兒的"理所當然"弄混淆了。

1614年，英格蘭數學家納皮爾（John Napier,1550～1617）出版了《奇妙的對數定律說明書》，書中他首次提出對數概念，并編制了史上第一張對數表，他使用的底數就是（1 1/10^7）^10^7。

過了2年（1616），倫敦的另外一位數學家布裡格斯（Briggs Henry，1561-1630），特意來拜訪納皮爾，給他的對數表改進提了建議，可惜的是納皮爾第二年（1617）就去世了，不過布裡格斯繼承了納皮爾的工作，他把納皮爾對數表的底數改成了10，并制作了精度達14位的對數表，這也耗費了他8年的時間。

到了這裡，其實我們離自然對數的提出，還差100多年呢！期間雖然有其他數學家看到了自然對數的影子，但沒有誰能抓住那影子。

比如牛頓在1665年對1/（1 x）的二項式展開中，首先得到了自然對數的級數；萊布尼茲在1690年給惠更斯的信中，也提到了這個常數，萊布尼茲用b表示；但他們對這個數的認識還不夠深。

直到17世紀，瑞士數學家歐拉，才看穿這個常數的秘密，1730年，歐拉正式定義了自然對數，指出指數運算和對數運算互為逆運算，并用e來表示自然對數，推廣了e的使用，所以自然對數也叫做"歐拉常數"。

自然對數（歐拉常數）

至此，自然對數登上數學大舞台！人們随後才發現什麼複利計算，什麼自然增長……居然和這個常數密切相關，其地位也和圓周率不分上下。

好啦，這篇關于自然對數的文章，就給大家介紹到這裡。在後面的文章中，我們将為大家展示：歐拉恒等式可以源源不斷地生成圓周率計算公式。喜歡我們文章的讀者朋友，歡迎點擊關注我們，我們将在後續更新文章。

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