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看看這道題是怎樣計算的

生活更新时间:2024-12-02 10:02:02

這是一道幾何題。我知道您不一定見過題本身，但是題目内可能用到的定理、公式等等您肯定見過。而且，不止一回。

所以，您肯定會。

這道題是這個樣子的：

等腰直角三角形ABC，A是直角頂點。其中AB=AC=3。M是斜邊的中點。D在AC上，E在AB上，滿足AD>AE。AEMD内接于某個圓。三角形DEM的面積等于2。求：CD的長。

仔細求證了一下，這道題至少有五六種方法可以把它搞定。在此隻提供其中的兩種方法，歡迎有不同方法的您，留言指教一二。

所有的方法用到的圖形是一樣的，如圖所示。

看看這道題是怎樣計算的（這道題您肯定會答）1

方法一：

考慮對三角形CDM采用正弦定理，或者餘弦定理。

因為三角形ABC是等腰直角三角形，所以可知角C是45°。假如選用正弦定理，至少還得知道另外一個角的度數，從圖上看，無處下手。于是放棄正弦定理，考慮餘弦定理。

因為M是斜邊的中點，所以

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同時，因為AEMD内接于圓，所以角DAM等于角DEM（同一段弧所對的圓周角相等）。因為角DAM等于45°（M是等腰直角三角形斜邊的中點），所以角DEM等于45°，所以三角形DEM也是等腰直角三角形（角A是直角，可知DE是内接圓的直徑，于是角M是直角）。

因為三角形DEM的面積等于2，從而可得

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根據餘弦定理可得：

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解此方程可得：

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同樣的解題過程适應于求BE的長度，可得BE的長度也是上邊兩個數。因為AD>AE，所以

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方法二：

考慮建立直角坐标系，标出各相關點的坐标，然後利用直線垂直的性質以及兩點間的距離公式等，列出方程，求出答案。

建立以A為坐标原點，AB為x軸，AC為y軸的平面直角坐标系。顯然可得A點坐标為（0,0），B點坐标為（3,0），C點坐标為（0,3）。根據中點坐标公式可得M點坐标為（3/2,3/2）。

設E點坐标為（x，0），D點坐标為（0，y）。從方法一中可知，DM垂直于EM，根據直線垂直的性質可得方程：

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化簡可得：

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同時根據方法一可知，三角形DME是等腰直角三角形，根據它的面積，可得方程如下：

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解此方程可得：

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于是：

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因為AD>AE，所以y>x，y取加号，x取減号。

那麼：

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