今天來說說數學的“自洽”。

數學世界的自洽應該是令人震撼和驚訝的，不知我們是否有這種想法，當我們用多種解法解答一道數學題時，各種解法的正确性是怎樣獨立保持的？似乎數學真理可以有多種不同的表達，幾何直觀和代數論證如何交相演繹出豐富的數學世界？

數學的正确性是分析性的。數學大廈隻能以一些不言自明、無法證明的公理為基礎構建，不同的公理就能構建出不同的“數學”，如歐式幾何與非歐幾何。在一個公理體系内，該體系是自洽的，定理之間是互不矛盾的，相關定理之間還有邏輯從屬(推導)關系。

說一個公理系統是自洽的，就是在不考慮别的東西的時候，這個公理系統是相容的(能在系統内自圓其說)。但有可能出現雖然兩個公理系統各自是自洽的，但是放在一起卻不一緻的情形。

公理系統還具有以下特點，就是對于任意一個系統中的命題 ,如果這個系統能夠證明出 p,那麼它就證明不出﹁p(非p)。也就是說，一個公理系統不能同時推出p和﹁p.

說一個公理系統是自洽的，也代表該系統下有“模型”。也就是說，存在一個模型使得這個系統中的定理全部都是真的，且推理規則(标準)全都是維持其正确性的。

模型的概念比較好理解，比如說三維線性空間加上歐式度量是歐幾裡得幾何的一個模型；自然數是皮亞諾公理系統的一個模型；從廣義相對論來看宇宙本身加上闵氏度規是黎曼幾何的一個模型。

有趣的是，數學上的很多概念是各自發展，到後來才發現它們是相通的(都能統一在公理系統内)。比如對數運算和指數運算的發明。在曆史上對數的發明是為了運算的簡便，納皮爾發明(為什麼用發明不用發現,見數學是人類的“發明”還是“發現”?)對數是想創立一種運算規則使乘除能對應加減，而且當時沒有從乘方運算升級的指數概念，所以納皮爾是以運動觀點的幾何式描述來定義對數的(見自然對數的意義)。

1614年，納皮爾發明了對數。

1637年，法國數學家笛卡兒發明了指數，比對數晚了20多年。

1770年，歐拉才第一個指出對數源于指數，這時對數和指數已經發明一百多年了。

人類的直覺很多時候優于人類對知識系統的創建。這也難怪很多人會說“數學的盡頭是哲學，科學的盡頭是神學”。比如憑直覺就能感受是正确的“費馬最後定理”，人類用了358年才将其證明。

看下面費馬最後定理的介紹：

像物理中一個單位可以從不同方向導出(比如從力學和電學都可以導出能量單位焦耳)一樣，數學中的很多公式定理也可以從不同方向導出，甚至有時候一些導出方法要繞很大一個“圈子”。

我們小學就知道的圓的周長公式l=2πr ,這個公式基于圓周率的定義，也很好理解。但若從微積分(見怎樣理解定積分)方向得出這個公式卻不簡單。首先我們要知道平面曲線的長度計算公式(見如何計算函數圖象的曲線長度)：

設y=f(x)的圖象在區間[a,b]上的曲線弧長為s:

然後求函數y=√1-x² (圖象就是半圓)在區間[-1,1]上圖象的曲線長度l (你先得懂微積分的一大堆知識)：

等等，上述計算還要求反正弦函數的定義域是弧度制的，這就涉及到弧度的定義(見弧度制的意義)：

再等等，你還得知道

的原函數是y=arcsinx上述計算才能進行，這一點就夠得解釋：

要知道互為反函數的函數的求導法則：記y=f(x)的反函數為y=f⁻¹(x),則

這個很好理解：

這個在另一篇文章“為什麼lnx求導是1/x?”中也有解釋。

好了，我們知道x=siny的反函數是y=arcsinx所以：

然後，我們就能理解上述算法了，但這算法完全是小學生看不懂的。

數學公理體系是自洽的，然而對數學的描述往往是通俗性和嚴謹性無法兼具的。對一個數學公式的描述若足夠簡單，它就往往缺乏代數上的嚴密論證。就像上述圓的周長公式一樣。如果小數書上就從第二種方法去論述圓的周長的計算，恐怕如高斯一樣聰明的學生都得放棄數學。

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