高三數學沖刺題集?第一講　直線與圓 ，下面我們就來聊聊關于高三數學沖刺題集?接下來我們就一起去了解一下吧!

高三數學沖刺題集

第一講　直線與圓

高考定位　　1.圓的方程近兩年為高考全國課标卷命題的熱點，需重點關注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現。

2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特别是直線)的考查主要體現在圓錐曲線的綜合問題上。

考向一 直線的方程

典型例題

1、　(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　)

A．1或3 B．1或5

C．3或5 D．1或2

(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1<m<4)，C(4,2)，則當△ABC的面積最大時，m＝(　　)

A． B．

C． D．

1、答案　(1)C　(2)B

自我總結

直線方程應用的兩個關注點

(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值後，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。

(2)求直線方程時應根據條件選擇合适的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。

變式訓練

2．(2018·江門模拟)已知三條直線l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1關于l2對稱的直線與l3垂直，則實數m的值是(　　)

A．－8　　　 B．－

C．8　　　 　 D．

2、答案　D

3．(2018·河南名校聯考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為(　　)

A．　　　　 B．

C．1　　　 　 D．

3、答案　C

考向二 圓的方程

典型例題

4、　(1)(2018·珠海聯考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的标準方程為(　　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐标軸的正方向分别相交于A，B兩點，O為坐标原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的标準方程是________。

4、答案　(1)B　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

自我總結

求圓的方程的兩種方法

(1)幾何法：通過已知條件，利用相應的幾何知識求圓的圓心，半徑。

(2)代數法：用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數。

變式訓練

5．抛物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的标準方程為________。

5、答案　(x－1)2＋y2＝4

6．在平面直角坐标系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的标準方程為________。

6、解析　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤ ≤，當且僅當m＝1時取等号，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。

解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點M(2，－1)，如圖，設C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的圓的标準方程為(x－1)2＋y2＝2。

考向三 直線與圓的位置關系

典型例題

7、　(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________。

(2)設直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐标原點，若△AOB為等邊三角形，則實數a的值為(　　)

A．±　 　B．± C．±3　　 　D．±9

7、答案　(1)y＝2x＋1或y＝x＋1　(2)B

自我總結

(1)直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路

研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。

(2)弦長的求解方法

①根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2＝d2＋(其中l為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。

②根據公式：l＝|x1－x2|求解(其中l為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐标，k為直線的斜率)，或根據l＝|y1－y2|求解。

③求出交點坐标，用兩點間距離公式求解。

變式訓練

8、(2018·合肥一模)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

8、解析　當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋3，因為圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因為d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。

9、(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分别與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值範圍是(　　)

A．[2,6] B．[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

(2)(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當θ，m變化時，d的最大值為(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

9、解析　(1)因為直線x＋y＋2＝0分别與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值範圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。

(2)解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌迹是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。

解法二：由題意可得

d＝＝

＝

＝

，因為－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當m＝0時，d取最大值3。故選C。

變式訓練

10．(2018·太原五中模拟)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為(　　)

A．15 B．9

C．1 D．－

10、解析　由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因為2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當k＝－3時，ab取得最大值9。故選B。

答案　B

11．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。

11、解析　設圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。

課後練習

1．(考向一)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

1、答案　A

2．(考向三)(2018·鄭州外國語中學調研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1隻有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　)

A．2　　　 　 B．4

C．8　　　 　 D．9

2、解析　由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓隻有一條公切線，所以兩圓内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等号成立，所以＋的最小值為9。故選D。

答案　D

3．若曲線y＝1＋與直線kx－y－2k＋4＝0有兩個不同的交點，則實數k的取值範圍是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C. D.

3、解析：選C　注意到y≥1，曲線y＝1＋是圓x2＋(y－1)2＝4在直線y＝1的上方部分的半圓．又直線kx－y－2k＋4＝0⇒y－4＝k(x－2)知恒過定點A(2,4)．如圖，由B(－2,1)，知kAB＝＝，當直線與圓相切時，＝2，解得k＝，故實數k的取值範圍是.

4．已知點P的坐标(x，y)滿足過點P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點，則|AB|的最小值是(　　)

A．2 B．4

C. D．2

4、解析：選B　根據約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示．

設點P到圓心的距離為d，求|AB|的最小值等價于求d的最大值，易知dmax＝＝，

所以|AB|min＝2＝4.

5．已知P是過三點O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)的圓M上一點，圓M與x軸、y軸的交點(非原點)分别為S，T，則|PS|·|PT|的最大值為(　　)

A．25 B．50

C．75 D．100

5、解析：選B　設圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

則

解得D＝－8，E＝6，F＝0.

所以圓M的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，

即(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8.

令x＝0，得y2＋6y＝0，解得y＝0或y＝－6.

所以S(8,0)，T(0，－6)．

而圓心(4，－3)在直線ST上，

所以PS⊥PT.

即|PS|2＋|PT|2＝(2r)2＝100.

所以|PS|·|PT|≤(|PS|2＋|PT|2)＝50.

所以(|PS|·|PT|)max＝50.

6．(2018·合肥質檢)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

6、解析：選B　當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，計算出弦長為2，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有＝1，解得k＝－，所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.

7．若過點P(2,1)的直線l與圓C：x2＋y2＋2x－4y－7＝0相交于兩點A，B，且∠ACB＝60°(其中C為圓心)，則直線l的方程是(　　)

A．4x－3y－5＝0 B．x＝2或4x－3y－5＝0

C．4x－3y＋5＝0 D．x＝2或4x－3y＋5＝0

7、解析：選B　由題意可得，圓C的圓心為C(－1,2)，半徑為2，因為∠ACB＝60°，所以△ABC為正三角形，邊長為2，所以圓心C到直線l的距離為3.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2，與圓相交且圓心C到直線l的距離為3，滿足條件；若直線l的斜率存在，不妨設l：y－1＝k(x－2)，則圓心C到直線l的距離d＝＝3，解得k＝，所以此時直線l的方程為4x－3y－5＝0.

8．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐标原點，且有|＋|≥||，那麼k的取值範圍是(　　)

A．(，＋∞) B．[，＋∞)

C．[，2) D．[，2)

8、解析：選C　當|＋|＝||時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，此時k＝.當k>時，|＋|>||.又直線與圓x2＋y2＝4有兩個不同的交點，故k<2，綜上，k的取值範圍為[，2)．

9．已知圓O：x2＋y2＝9，過點C(2,1)的直線l與圓O交于P，Q兩點，則當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為(　　)

A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0

B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0

C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0

D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

9、解析：選D　當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x＝2，則P，Q的坐标為(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2.當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)，則圓心到直線PQ的距離d＝，又|PQ|＝2，所以S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝≤＝，當且僅當9－d2＝d2，即d2＝時，S△OPQ取得最大值.因為2<，所以S△OPQ的最大值為，此時＝，解得k＝－1或k＝－7，此時直線l的方程為x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0.

10、　(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分别與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值範圍是(　　)

A．[2,6] B．[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

10、解析　因為直線x＋y＋2＝0分别與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值範圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。

11、(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當θ，m變化時，d的最大值為(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

11、解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌迹是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。

12、(2018·鄭州外國語中學調研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1隻有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　)

A．2　　　 　 B．4

C．8　　　 　 D．9

12、解析　由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓隻有一條公切線，所以兩圓内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等号成立，所以＋的最小值為9。故選D。

答案　D

13、(2018·安徽“江南十校”聯考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。

13、解析　因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2

14、(2018·南甯、柳州聯考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐标原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于______。

14、解析　

令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。

答案　－

15、某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數分别為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。

15、解析　由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因為直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝

16、(2018·安徽“江南十校”聯考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。

16、解析　因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2

17、已知圓C經過點A(－2，0)，B(0，2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P，Q兩點．

(1)求圓C的方程；

(2)過點(0，1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

17、【解】　(1)設圓心C(a，a)，半徑為r，因為圓C經過點A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，

即＝＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圓C的方程為x2＋y2＝4.

(2)設圓心C到直線l，l1的距離分别為d，d1，四邊形PMQN的面積為S.

因為直線l，l1都經過點(0，1)，且l1⊥l，根據勾股定理，有d＋d2＝1.

又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，

所以S＝|PQ|·|MN|＝×2××2×

＝2

＝2≤2

＝2＝7，

當且僅當d1＝d時，等号成立，

所以四邊形PMQN面積的最大值為7.

18、 已知圓C經過點A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的内部，且直線3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長為2.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N.

(1)求圓C的方程；

(2)若直線y＝x＋1與圓C交于A1，A2兩點，求·；

(3)求證：|AN|·|BM|為定值．

18、【解】　(1)易知圓心C在線段AB的中垂線y＝x上，

故可設C(a，a)，圓C的半徑為r.

因為直線3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長為2，且r＝，

所以C(a，a)到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝＝＝，

所以a＝0或a＝170.

又圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的内部，

所以a＝0，此時r＝2，所以圓C的方程為x2＋y2＝4.

(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.

設A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，

則x1＋x2＝－1，x1x2＝－.

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.

(3)證明：當直線PA的斜率不存在時，|AN|·|BM|＝8.

當直線PA與直線PB的斜率都存在時，設P(x0，y0)，

直線PA的方程為y＝x＋2，令y＝0得M.

直線PB的方程為y＝(x－2)，令x＝0得N.

所以|AN|·|BM|＝

＝4＋4

＝4＋4×

＝4＋4×

＝4＋4×＝8，

綜上，|AN|·|BM|為定值8.

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