初中數學配方法的綜合運用題型? 配方法及其在初中數學解題中的應用，我來為大家講解一下關于初中數學配方法的綜合運用題型?跟着小編一起來看一看吧!

初中數學配方法的綜合運用題型

配方法及其在初中數學解題中的應用

（注本文是頭條号初中數學苑的原創文章，未經授權不得轉載。）

前言

數學思想方法是初中數學基礎知識的一部分，初中數學常用的數學思想方法有換元法，配方法，待定系數法，數形結合方法等等，在數學解題中善于利用數學思想方法是解題成功的一個重要策略，本文談談配方法及其在初中數學解題中的應用。以提高同學們解決數學問題的能力。

基本認識

所謂配方法，就是利用公式a² 2ab b²=(a b)²和a²-2ab b²=(a-b)²,通過恒等變形把一個代數式中的某些項配成一個完全平方的形式。通過配方解決數學問題的方法稱為配方法。配方法是初中數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在代數式的化簡求值、因式分解、解方程、求二次函數的極值和頂點坐标等方面都有廣泛的應用。

基本應用

一．利用配方法求代數式的值

例題1已知a、b為實數,且a² 9b²－2a 18b 10=0，

求4a²－b的值.

分析：由于a,b的值未知，因此我們先設法求出a,b的值，又由于隻有一個等式，因此考慮可否把左邊化為兩個完全平方式的和，再利用非負數的性質求解。

由于左邊含有（a²－2a），因此可以添一個數1，則a²－2a =（a²－2a 1）-1=（a-1）²-1,同理9b²－18b=（9b²－18b 9）-9=（3b-3）²-9,而-1-9=-10恰好與等式裡的10抵消，于是原式可以化為兩個完全平方式的和。

解答.原式可化為：（a-1）² （3b-3）²=0，于是：（a-1）²=0（3b-3）²=0，

所以a=1,b=1,∴4a²－b=3.

點評:利用配方法求值常常還要利用非負數的性質。

例題2：化簡：

分析：化簡就是将根式

化為最簡二次根式，這類根式一般是利用公式

進行化簡。因此我們設法用配方法把根号内的式子配成完全平方式，由于a²-2ab b²=(a-b)²,因此設想11-

= a²-2ab b²，所以設法将11拆分為a² b²，則-

=-2ab，而

=2×2

，因此猜想a=2,b=

,再驗證：a² b²=2² （

）²=4 7=11,于是問題可解決。

解：

=

點評：（1）.利用公式a²-2ab b²=(a-b)²進行配方的關鍵是先要确定a與b的式子各是什麼？然後再将原式化為公式左邊的形式，從而得出公式右邊的形式；

（2）最後一步要注意2＜

，因此

例題3:已知：△ABC的三邊分别為a、b、c，且a² b² c²=ab bc ac，求證：△ABC為等邊三角形。

分析：觀察等式兩邊我們發現具有完全平方式的類似結構，于是可以嘗試用配方法進行變形，由a² b² c²=ab bc ac，得：a² b² c²-ab-bc-ac=0，可以考慮進一步再變形。

因為a²-2ab b²=(a-b)²①， b²-2bc c²=(b-c)² ②，a²-2ac c²=(a-c)² ③，

① ② ③得：

2（a² b² c²-ab-bc-ac）=(a-b)² (b-c)² (a-c)² 而a² b² c²-ab-bc-ac=0，，所以：

(a-b)² (b-c)² (a-c)² =0，于是問題可解。

解答.原式可化為：(a-b)² (b-c)² (a-c)² =0，所以(a-b)²=0，(b-c)²=0，(a-c)² =0。

所以a=b=c.所以△ABC是等邊三角形。

點評：含有關于a，b，c的二次對稱輪換式一般考慮用配方法進行變形。

二．利用配方法進行因式分解

例題4. 分解因式：(a b)²−4(a²−b²) 4(a−b)²

分析：這個式子可以看成一個三項式，一般考慮用配方法進行因式分解。

因此設法把原式化為M² 2MN N²的形式，注意4(a²−b²)= 4(a b) (a−b) =2×(a b) ×[2(a−b)], 而4(a−b)²=[2(a-b)]²因此M=a-b，N=2（a-b）.于是：原式= M² 2MN N²= (M-N)²。

解答.原式=(a b)²−4(a b) (a-b) 4(a−b)²=(a b)²−2(a b)[2 (a-b)] [2(a−b)]²

=[(a b)- 2(a−b)]² =(a b- 2a 2b)²=(-a 3b)²=(a-3b)²

點評：三項式的分解因式一般利用完全平方公式進行配方即可分解因式。

三．利用配方法解方程

例題5：用配方法解方程： 3x² － 12x ＋9 =0

分析：利用配方法可以将一元二次方程化為（x a）²=b的形式，從而可以再運用直接開平方法求解。此例中的方程的二次項系數不是1，我們可以先将原方程化為：x² －4x ＋3 =0，由于x² －4x 2²=（x-2）²,因此我們可以在方程的兩邊同時加上2²，得：x² －4x 2²＋3 =0 2²，所以（x-2）²=1，再利用直接開平方法即可求解。

解：方程的兩邊都除以3，得： x² －4x ＋3 =0，即：x² －4x =-3，

兩邊都加上4，得：x² －4x 4=4-3，所以（x-2）²=1, x-2=±1,x₁=3,x₂=1

點評：1.利用配方法解方程的關鍵是在方程的兩邊都配上一次項系數一半的平方。即根據公式：x² px (

)²=(x-

)²進行變形。

2.利用配方法解方程的步驟是：

(1)将

項的系數化成1，常數項移到等号的右邊；

(2)将方程的左右兩邊同時加上

項系數一半的平方；

(3)将方程左邊配成完全平方式，即将方程化為（x a）²=b(b≥0)的形式；

(4)方程兩邊同時開平方，求出

值：x=-a±

.

例題6.已知x² y²-6x 4y 13=0,則x=__ y=__.

分析：此為一個二元二次方程，似乎無法求出x,y的值，但是我們可以設法将原式化為兩個非負數的和的形式，然後再利用非負數的性質求解，由于x²-6x 9=(x-3)², y² 4x 4=(x 2)²,而9 4=13.因此我們可以把原方程左邊的13拆為9 4，再利用加法交換率從新組合，則方程左邊可化為兩個完全平方式的和的形式，即用配方法可以把原方程化為：（x-3）² (y 2)²=0, 于是可以求x,y.

解答.原式可以化為：（x-3）² (y 2)²=0, 所以x-3=0,y 2=0即：x=3 y=-2.

點評：形如ax² by²-cx dy e=0的方程一般先利用配方法将左邊進行變形，再求解。

四．利用配方法研究不等式

例7： 關于x的方程x²－(2a－1)x (a－3)=0求證：無論a為任何實數該方程總有兩個不相等的實數根.

分析：要證明一元二次方程有兩個不相等的實數根，隻要證明根的判别式大于零即可，所以遇到這類問題我們一般先計算根的判别式，并設法将判别式化為一個非負數和一個正數的和的形式即可。

解答. ∵根的判别式⊿=[－(2a－1)]²-4(a－3)=4a²-4a 1-4a 12

=4(a²-2a) 13=4(a-1)² 9＞0

∴無論a為任何實數該方程總有兩個不相等的實數根。

點評：與一元二次方程有關的問題常常考慮根的判别式和韋達定理，此例可以考慮巧用配方法證明根的判别式大于零即可。

五．利用配方法求二次函數的頂點坐标及對稱軸

例題8：（1）已知二次函數y=(m-2)x² (m 3)x m 2的圖象過點A（1，5）

①求m的值，并寫出二次函數的解析式。

②求出二次函數圖象的頂點坐标、對稱軸和最值。

分析：① 遇到求函數解析式的參數問題，一般要用待定系數法求解。此題中我們把點A的坐标代入函數解析式即可求出m的值； ②遇到求出二次函數圖象的頂點坐标、對稱軸和最值的問題，要先将函數解析式進行配方，化為y=a(x k)² h的形式，即可求出二次函數圖象的頂點坐标（-k,h）、對稱軸:x=-k,最值=h(當a＞0時，h為最小值；當a＜0時，h為最大值。)。

解答. ①把點A（1，5）的坐标代入函數解析式，得：

m-2 m 3 m 2=5,所以m=2/3, 所以二次函數的解析式為：y=

x²

x

；

②将二次函數y=

x²

x

,配方得：y=

（x-

）² 11

∴二次函數的頂點坐标為（

），對稱軸x=

,又因為a=

＜0，所以當x=

,時，函數取得最小值：y=11

點評：利用配方法求二次函數圖象的頂點坐标、對稱軸和最值是二次函數中的一個重要知識點，同學們務必熟練掌握！

感悟配方法

配方法是初中數學的一種重要的數學思想方法，在初中數學解題中有廣泛的應用，對一些代數式進行配方，我們常常可以化為幾個非負數的和的形式，從而可以求出有關的未知量，或者對代數式進行化簡求值，對于有些三項式的因式分解問題，利用配方法就可以轉化為乘法公式的形式，從而可以利用乘法公式進一步分解因式，配方法也是解方程的一種基本工具之一，任何一個一元二次方程都可以利用配方法化為(x m)²=n(n≥0)的形式，然後通過兩邊同時開平方即可求出x的值，一元二次方程的求根公式x=

事實上隻是配方法的結果罷了。而解決二次函數的極值和頂點坐标等問題也都與配方法密切相關。因此同學們一定要熟練掌握配方法。在解題中，同學們要洞察問題的實質和聯系，利用配方法将數學問題化難為易，很多問題就會迎刃而解！這正是：山重水複疑無路，柳暗花明又一村！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!