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從零開始學習數學書籍

生活更新时间:2024-12-27 21:35:55

第一周-數學基礎的學習大綱

矩陣對角化，SVD分解以及應用
逆矩陣，僞逆矩陣
PCA原理與推導
極大似然估計，誤差的高斯分布與最小二乘估計的等價性
最優化，無約束，有約束，拉格朗日乘子的意義，KKT條件

課程2 逆矩陣，僞逆矩陣，最小二乘解，最小範數解；PCA原理與推導1. 逆矩陣，僞逆矩陣，最小二乘解，最小範數解

1, 2, ⋯ , , ∈ ℝ

1, 2, ⋯ , , ∈ ℝ1

1 = 111 122 ⋯ 1

2 = 211 222 ⋯ 2

⋮

= 11 22 ⋯

從零開始學習數學書籍（深度之眼花書訓練營第五期）1

××1 = ×1

當 = 且×可逆時：

= −1s

一般情況： ≠ n

設min||X − ||2 =

則對矩陣求導可得，/= X(X − ) = 0

XX = X XX是否可逆？

補充：矩陣可逆的條件：

R（A）=n，即若矩陣滿秩則矩陣可逆

秩的定義：矩陣中所有行向量中極大線性無關組的元素個數。

1. N > n

如 = 5, = 3 (XX)3×3一般是可逆的

補充： R(AB)<<R(A)或R(B)

則 = (XX)(−1)X

此時(XX)(−1)X即為僞逆矩陣

2. <

如 = 3, = 5 (XX)5×5

(XX) ≤ (X) ≤ 3

故XX不可逆

此時就需要加上正則項得，

從零開始學習數學書籍（深度之眼花書訓練營第五期）2

從零開始學習數學書籍（深度之眼花書訓練營第五期）3

這裡所求的解便是最小範數解

2. PCA原理與推導

PCA仍然是一種數據壓縮的算法

如圖所示，A點需要x,y兩個坐标來表示，假設A在向量u上面的投影點為A’，則A’僅僅需要一個參數就能表示，就是OA’的長度(即A’在u上的坐标),我們就想着用A’來替換A，這樣N個點(原來要2*N個參數),現在隻需要(N 2)個參數(u也需要2 個參數)

從零開始學習數學書籍（深度之眼花書訓練營第五期）4

但是此時就帶來了誤差，如AA’和BB’,所以我們要能夠找到這樣一個方向u,使得所有原始點與投影點之間的誤差最小。

後續将繼續更新課程内容. . . .

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