（作者：劉嶽老師）

據說在廣大數學系同學的教材中，證明題被分為了兩大類：

（1）這t（題）m（目）也用證？

（2）這t（題）m（目）也能證？

而今天的問題，可能還要特殊一點，你可以說它屬于第一類，若是歸屬于第二類好像也毫無違和感，是的，說的就是我們小學就知道的加法交換律：a b=b a。

當然，它又不是公理，況且，并不是每一種運算都滿足交換律，比如減法就不行，a-b和b-a并不是總相等的，a÷b和b÷a往往也是兩回事，解釋這一點很簡單，對于a b而言，其中的a和b都叫做加數，但是對于a-b，一個叫減數，一個叫被減數，當然不能随意交換。

接下來關于這個等式的證明，或許我們會有一些這樣那樣的想法，比如，通過移項兩邊加加減減。

當然不可能這麼簡單了。

做證明題一定要清楚一點，我們有什麼？

對這個問題無從下手的一個主要因素就是，這題沒給條件啊！其實也不是沒給，是默認我們都知道了，比如

（1）什麼是a、b（這裡代指自然數）；

（2）什麼叫加法。

我們确實知道，隻不過我們熟悉的并不能解決這個問題。

什麼叫自然數？

像0、1、2、3……這樣的數叫自然數，這是我們小學就知道的定義，這個定義能幫助孩子們理解、辨别自然數，至于嚴謹不嚴謹的，這不在小學考慮的範疇。

但對于我們這個問題，什麼叫自然數就很重要了。

對于一些數學基礎定義，我們下定義的方式從來都不是“它是什麼”，我們不曾讨論過“1是什麼？”、“1真實存在嗎”等等，我們隻會描述“1”可以用來做什麼，比如“我在馬路邊撿到1元錢”、“這次考試我考了班級第1，倒數的”。

明确我們想要它來幹什麼，再用公理來規範它，即所謂的公理化，至于它本身有沒有意義之類的，who care。

我們想要自然數實現什麼？

（1）基數功能：表示數量；

（2）序數功能：表示順序；

（3）運算功能：如果1 2不能得到3的話，那麼1 2與a b又有什麼區别？

原始人結繩計數

通用的定義自然數的公理是皮亞諾（Peano）公理，以下内容參考《陶哲軒實分析》一書，關于皮亞諾公理作簡單介紹。

陶哲軒實分析

首先我們想要的自然數是指一類數，彼此之間也是有關系的，我們需要兩個基礎概念：數0和增長運算，由0開始增長得到後面的其他的自然數，我們用n 來表示n後面的數，稱為數n的“後繼”，比如0 =1,（0 ） =2等等。

公理1：0是自然數。

關于0到底是不是自然數，本文就不讨論了。數學是基于公理體系下的符号遊戲，隻要不引起矛盾或糾紛，這個說法便是ok的。

公理2：若n是自然數，則n 也是自然數。

我們可以理解自然數集是0，0 ，（0 ） ，（（0 ） ） ……這麼一串數，隻是為了書寫方便，我們改為了0，1，2，3，4……

好像對于描述自然數，以上兩條就夠了，但我們還需更明确一些，關于每個數的後繼。

用過這種計算器的應該會知道，如果算出的數結果很大，會顯示歸零。

同樣對于自然數集，我們需要：

公理3：0不是任何自然數的後繼，即對于任意自然數n，都有n ≠0。

規避掉歸零的情況還不夠，我們還需要保證，後面數的後繼也不會歸1、歸2等等，比如4 ≠1，4 ≠2……

公理4：不同的自然數有不同的後繼。若m、n是自然數且m≠n，則m ≠n ，等價地說，若m =n ，必有m=n。

對于自然數已經比較規範了，但對于運算來說還差點意思。

公理5：（數學歸納原理）

設P（n）是關于自然的是一個性質，假設P（0）是真的，并假設隻要P（n）是真的，則P（n ）也是真的。那麼對于每個自然數n，P（n）都是真的。

就好比當我們有了1 1=2，便可得到2 1=3，3 1=4……

對于自然數，我們想要的是具有一般性的結論，而這一點需要數學歸納來完成。

自然數

自然數：存在一個數系N，稱其元素為自然數，公理1—5對此數系成立。

皮亞諾

假裝解決了第一個問題：什麼是自然數。接下來該說說什麼是加法了。

在前面我們提過自然數的一個基本運算：增長，表現了自然數之間的關聯，在此基礎上來建立加法運算。

加法：設m是自然數，定義：0 m=m。假定已經定義好如何使n加上m，那麼定義（n ）加上m為（n ） m=（n m） 。

比如當定義1 3=4時，那麼2 3=（1 3） =4 =5，3 3=（2 3） =5 =6……

這還不夠，m 0=m嗎？以及n （m ）=（n m） 嗎？這些我們還都不知道呢，我們也希望同樣由1 3=4能得到1 4=5。

證明1：對自然數m，m 0=m。

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我們還并不知道加法交換律這麼回事。

公理告訴我們這裡我們可以用的方法是數學歸納，

根據0 m=m以及0是自然數，可得：0 0=0

現假定n 0=n，根據加法定義，

那麼（n ） 0=（n 0） =n

所以對任意自然數m，均有m 0=m。

證明2：對任意自然數n和m，n （m ）=（n m）

依然數學歸納法

對n進行歸納，當n=0時，

0 （m ）=（0 m）

假定n （m ）=（n m） ，

接下來證（n ） （m ）=（（n ） m） 。

左式=（n （m ）） =（（n m） ）

右式=（（n m） ）

故左式=右式。

準備工作做好了，剩下的任務就簡單了。

假裝理解了題目給我們暗示的兩個條件：

（1）什麼叫自然數；

（2）什麼是加法。

是時候證明加法交換律了。

加法交換律：對于自然數n和m，n m=m n。

證明：對n進行歸納，

首先考慮當n=0時，0 m=m，m 0=m，故0 m=m 0成立，

假定n m=m n成立，下證：（n ） m=m （n ）

根據加法定義：（n ） m=（n m）

根據證明2：m （n ）=（m n）

根據假定：（m n） =（n m）

故（n ） m=m （n ）

于是對任意自然數n、m，均有n m=m n。

我問佛，了解這玩意有什麼意義？

佛說，你已經做了這麼多無意義的事，又何必多在意這一件？

我不禁淚流滿面

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